Considere agora que você tem uma casca esfera maciça completa, com raio R, também carregada com uma densidade volumétrica de carga rho.
Usando o resultado da questão anterior, calcule o potencial elétrico no centro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma casca esférica maciça completa com raio $ R $, carregada com uma densidade volumétrica de carga $ \rho $. Nosso objetivo é calcular o potencial elétrico no centro dessa casca. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especialmente o cálculo do potencial elétrico devido a uma distribuição de carga.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é potencial elétrico. O potencial elétrico em um ponto é a energia potencial elétrica por unidade de carga nesse ponto. Para uma distribuição de carga, como a nossa casca esférica, podemos calcular o potencial elétrico integrando a contribuição de cada elemento de carga sobre todo o volume da casca.

Passo 3

Como temos uma densidade volumétrica de carga $ \rho $, sabemos que a carga total $ Q $ na casca pode ser encontrada multiplicando a densidade pelo volume da casca. A casca esférica tem volume $ V = \frac{4}{3}\pi R^3 $, então:
rho

Passo 4

Para calcular o potencial elétrico no centro da casca, vamos lembrar que, para uma distribuição de carga simétrica como essa, o potencial devido a uma casca esférica no seu centro pode ser calculado simplificando a integração.
A fórmula geral para o potencial elétrico devido a uma distribuição de carga é:
V = 14pivarepsilon0 integral dqr
Onde:
  • $ V $ é o potencial elétrico,
  • $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo,
  • $ dq $ é um elemento de carga,
  • $ r $ é a distância do elemento de carga ao ponto onde estamos calculando o potencial.

Passo 5

No nosso caso, estamos calculando o potencial no centro da casca. A distância $ r $ de qualquer ponto da casca ao centro é sempre igual ao raio $ R $ da casca. Então, a expressão para o potencial fica:
r
Como $ \frac{1}{R} $ é constante em relação à integração, podemos simplificar:
R

Passo 6

A integral de $ dq $ sobre a casca inteira é simplesmente a carga total $ Q $. Então:
dq
Substituindo a expressão de $ Q $ que encontramos no passo 3:
Q

Passo 7

Agora, vamos simplificar essa expressão. As $ \pi $ se cancelam, e uma das potências de $ R $ cancela com o $ R $ no denominador:
pi

Resposta

O potencial elétrico no centro da casca esférica é:
V = rho R^23varepsilon0

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