Exercício 2. Resolva o PVI e determine (pelo menos aproximadamente) um intervalo no qual a solução está definida
(a)
y^{\prime}=(1-2 x) y^{2}, \quad y(0)=-\frac{1}{6}
(b)
y^{\prime}=\frac{1-2 x}{y}, \quad y(1)=-2
(c)
y^{\prime}=\frac{x y^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}}, \quad y(0)=1
(d)
\sin (2 x) d x+\cos (3 y) d y=0, \quad y\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{\pi}{3}

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados para cada item. Para cada problema a tarefa é: resolver o problema de valor inicial (PVI) — isto é, encontrar a solução y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial — e determinar (pelo menos aproximadamente) um intervalo em x onde essa solução está definida (o maior intervalo que contém o ponto inicial em que a solução faz sentido).
Dados:
  • (a) y^{\prime}=(1-2 x) y^{2},\quad y(0)=-\dfrac{1}{6}.
  • (b) y^{\prime}=\dfrac{1-2 x}{y},\quad y(1)=-2.
  • (c) y^{\prime}=\dfrac{x y^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}},\quad y(0)=1.
  • (d) \sin (2 x)\,dx+\cos (3 y)\,dy=0,\quad y\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{3}.
Observação útil (que vou usar muitas vezes): quando a equação é “separável”, podemos escrever os termos envolvendo y multiplicando dy de um lado e os termos em x multiplicando dx do outro, e integrar. Sempre vou explicitar cada passo das integrais, substituições e como determinar o intervalo de validade (normalmente determinado por pontos onde alguma expressão no denominador ou dentro de raiz zera/torna-se negativa ou onde a solução tende a infinito).

Passo 2

Resolução do item (a). Primeiro reconhecemos que a equação é separável: podemos separar y e x.
Escrevemos:
\frac{dy}{dx}=(1-2x)\,y^{2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y^{2}}=(1-2x)\,dx.
Explicando a integral à esquerda: \dfrac{1}{y^{2}}=y^{-2}, e \displaystyle\int y^{-2}\,dy = \int y^{-2}\,dy = -y^{-1}+C (porque a primitiva de y^{n} é y^{n+1}/(n+1), aqui n=-2 -1/y). À direita vamos integrar (1-2x).
Integramos ambos os lados:
\int \frac{dy}{y^{2}}=\int(1-2x)\,dx \qquad\Rightarrow\qquad -\,\frac{1}{y}=x-x^{2}+C.
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=-\dfrac{1}{6}. Substituindo x=0, y=-1/6:
-\,\frac{1}{-1/6}=6 = 0-0 + C \quad\Rightarrow\quad C=6.
Portanto a relação implícita/explicitada é
-\,\frac{1}{y}=x-x^{2}+6.
Isolando y:
y(x)=-\frac{1}{\,x-x^{2}+6\,} = -\frac{1}{-x^{2}+x+6}.
Agora, para o intervalo de validade: a solução é bem definida enquanto o denominador for diferente de zero. Vamos achar onde -x^{2}+x+6 =0. Isso é equivalente a x^{2}-x-6=0, cujas raízes são
x=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{1\pm5}{2}\quad\Rightarrow\quad x=3,\;x=-2.
No ponto x=3 ou x=-2 o denominador anula e y “explode” (singularidade vertical). O ponto inicial x=0 está entre -2 e 3, então o maior intervalo onde a solução existe e é finita contendo 0 é
(-2,\,3).

Passo 3

Resolução do item (b). A equação é separável. Multiplicamos ambos os lados por y\,dx:
\frac{dy}{dx}=\frac{1-2x}{y}\quad\Longrightarrow\quad y\,dy=(1-2x)\,dx.
Integramos os dois lados. À esquerda \int y\,dy = \dfrac{y^{2}}{2}. À direita \int (1-2x)\,dx = x-x^{2}+C. Assim
\frac{y^{2}}{2}=x-x^{2}+C.
Multiplicando por 2:
y^{2}=2x-2x^{2}+C_{1},\quad\text{onde }C_{1}=2C.
Aplicamos a condição inicial y(1)=-2. Substituindo x=1, y=-2:
(-2)^{2}=4 = 2(1)-2(1) + C_{1} = 0 + C_{1}\quad\Rightarrow\quad C_{1}=4.
Logo
y^{2}=-2x^{2}+2x+4.
Isolando y, obtemos duas ramas:
y(x)=\pm\sqrt{-2x^{2}+2x+4}.
Escolhemos o sinal que satisfaz a condição inicial y(1)=-2. Em x=1 a raiz é \sqrt{4}=2, então devemos tomar o sinal negativo:
y(x)=-\sqrt{-2x^{2}+2x+4}.
Intervalo de validade: a expressão sob a raiz precisa ser não-negativa:
-2x^{2}+2x+4 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x^{2}-2x-4 \le 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-x-2 \le 0.
A equação x^{2}-x-2=0 tem raízes
x=\frac{1\pm\sqrt{1+8}}{2}=\frac{1\pm3}{2}\quad\Rightarrow\quad x=2,\;x=-1.
Como o coeficiente de x^{2} é positivo, o polinômio é ≤0 entre as raízes. Então a condição é -1\le x \le 2. Nos extremos a raiz vale zero; a solução é contínua até os extremos, mas fora desses pontos a expressão fica negativa e a solução real não existe. O ponto inicial x=1 está dentro do intervalo, portanto o maior intervalo contíguo contendo 1 onde a solução real definida é
(-1,\,2)
(se preferir incluir os extremos onde y=0 em x=-1 ou x=2, a solução atinge zero precisamente nesses pontos; normalmente dizemos o intervalo de existência maximal como [-1,2] se aceitarmos valores onde y=0 — a equação original tem y no denominador? No item (b) a equação original escrita como y'=(1-2x)/y exige y\neq0 para poder avaliá-la diretamente; portanto os pontos onde y=0 são singulares para a forma explícita y'=(1-2x)/y. Assim a solução clássica como função diferenciável é definida no intervalo aberto (-1,2).)

Passo 4

Resolução do item (c). Novamente separável. Escrevemos:
\frac{dy}{dx}=\frac{x y^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y^{3}}=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
Integramos. À esquerda \displaystyle\int y^{-3}\,dy = -\frac{1}{2y^{2}} + C (porque \int y^{n}\,dy = y^{n+1}/(n+1) e aqui n=-3). À direita calculamos \displaystyle\int \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx. Fazemos a substituição u=1+x^{2}, então du=2x\,dx e x\,dx = du/2. Assim
\int\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = \int\frac{1}{2}\frac{du}{\sqrt{u}} = \sqrt{u} + C = \sqrt{1+x^{2}} + C.
Juntando:
-\,\frac{1}{2y^{2}}=\sqrt{1+x^{2}} + C.
Aplicamos a condição inicial y(0)=1. Para x=0, y=1:
-\,\frac{1}{2\cdot1^{2}} = -\frac{1}{2} = \sqrt{1+0} + C = 1 + C \quad\Rightarrow\quad C=-\frac{3}{2}.
Portanto
-\,\frac{1}{2y^{2}}=\sqrt{1+x^{2}} -\frac{3}{2}.
Multiplicando por -2:
\frac{1}{y^{2}} = -2\sqrt{1+x^{2}} + 3.
Invertendo:
y^{2} = \frac{1}{\,3 - 2\sqrt{1+x^{2}}\,}, \qquad y(x)=\pm\frac{1}{\sqrt{\,3 - 2\sqrt{1+x^{2}}\,}}.
Escolhemos o sinal compatível com y(0)=1>0, portanto a solução é
y(x)=\frac{1}{\sqrt{\,3 - 2\sqrt{1+x^{2}}\,}}.
Agora a condição de existência: o denominador dentro da raiz deve ser positivo:
3 - 2\sqrt{1+x^{2}} > 0 \quad\Longrightarrow\quad \sqrt{1+x^{2}} < \frac{3}{2}.
Elevando ao quadrado (note que ambos os lados são não-negativos):
1+x^{2} < \frac{9}{4}\quad\Longrightarrow\quad x^{2} < \frac{9}{4}-1=\frac{5}{4}.
Logo
|x| < \frac{\sqrt{5}}{2}\approx 1{,}1180\ldots
Nos limites |x|=\sqrt{5}/2 o denominador zera e y explode. Assim o maior intervalo centrado em 0 onde a solução é bem definida é
\left(-\frac{\sqrt{5}}{2},\;\frac{\sqrt{5}}{2}\right).

Passo 5

Resolução do item (d). A equação dada está na forma diferencial exata separável:
\sin(2x)\,dx + \cos(3y)\,dy = 0.
Podemos rearranjar para separar as variáveis:
\cos(3y)\,dy = -\sin(2x)\,dx.
Integramos ambos os lados. Para a esquerda, \displaystyle\int \cos(3y)\,dy = \frac{1}{3}\sin(3y) (porque a derivada de \sin(3y) é 3\cos(3y)). Para a direita, \displaystyle\int -\sin(2x)\,dx = \frac{1}{2}\cos(2x) + C (pois a derivada de \cos(2x) é -2\sin(2x)). Assim:
\frac{1}{3}\sin(3y)=\frac{1}{2}\cos(2x)+C.
Aplicamos a condição y\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right)=\dfrac{\pi}{3}. Para x=\dfrac{\pi}{2}, \cos(2x)=\cos(\pi)=-1. Para y=\dfrac{\pi}{3}, \sin(3y)=\sin(\pi)=0. Substituindo:
\frac{1}{3}\cdot 0 = \frac{1}{2}(-1) + C \quad\Rightarrow\quad 0 = -\frac{1}{2}+C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{2}.
Logo a relação implícita entre x e y é
\frac{1}{3}\sin(3y)=\frac{1}{2}\cos(2x)+\frac{1}{2}.
Multiplicando por 3:
\sin(3y)=\frac{3}{2}\cos(2x)+\frac{3}{2}=\frac{3}{2}\big(\cos(2x)+1\big).
Usando a identidade trigonométrica \cos(2x)+1=2\cos^{2}x, obtemos uma forma mais simples:
\sin(3y)=3\cos^{2}x.
Esta é a solução implícita. Podemos tentar resolver para y de forma explícita perto do ponto inicial. Note que a condição inicial dá 3\cos^{2}(\pi/2)=0, e y(\pi/2)=\pi/3 satisfaz \sin(3\cdot \pi/3)=\sin\pi=0. Ao desvendar a função inversa de \sin, devemos escolher o ramo contínuo que passa pelo valor inicial 3y(\pi/2)=\pi. Para valores próximos do ponto inicial a escolha que garante continuidade é:
3y(x)=\pi-\arcsin\big(3\cos^{2}x\big) \quad\Longrightarrow\quad y(x)=\frac{1}{3}\Big(\pi-\arcsin\big(3\cos^{2}x\big)\Big),
pois \arcsin(0)=0 e então em x=\pi/2 temos y=\pi/3. Atenção: essa expressão explícita só faz sentido quando o argumento da função \arcsin estiver no intervalo [-1,1], isto é, quando
-1 \le 3\cos^{2}x \le 1.
Como 3\cos^{2}x\ge0, a restrição relevante é 3\cos^{2}x\le 1, ou seja
\cos^{2}x \le \frac{1}{3}\quad\Longleftrightarrow\quad |\cos x|\le\frac{1}{\sqrt{3}}.
Agora temos que encontrar o maior intervalo em x contendo x_{0}=\dfrac{\pi}{2} onde isso vale. As equações \cos x = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}} correspondem aos pontos
x = \operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\quad\text{e}\quad x = \operatorname{arccos}\!\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right).
Numericamente,
\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx 0{,}95532\quad(\approx54{,}735^\circ),
\operatorname{arccos}\!\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\pi-\operatorname{arccos}\!\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)\approx 2{,}18627\quad(\approx125{,}264^\circ).
Para x entre esses valores temos |\cos x|\le 1/\sqrt{3}. O ponto inicial x=\pi/2\approx1{,}5708 está exatamente no meio desse intervalo. Portanto o maior intervalo aberto de x contendo \pi/2 em que a solução existe (e onde a expressão implícita \sin(3y)=3\cos^{2}x é compatível com valores reais de y) é
\big(\operatorname{arccos}(1/\sqrt{3}),\;\operatorname{arccos}(-1/\sqrt{3})\big) \approx (0{,}9553,\;2{,}1863).
Observação sobre os extremos: em cada extremo o lado direito atinge 1 (ou seja 3\cos^{2}x=1), o que leva a \sin(3y)=1. Nesse ponto \cos(3y)=0 e a fórmula diferencial original escrita isolando y' envolveria divisão por zero (singularidade vertical da inclinação). Por isso normalmente tomamos o intervalo aberto. A solução implícita, no entanto, pode ser estendida até os extremos em valor, mas não além.

Resposta

(a) y(x)=-\dfrac{1}{\,x-x^{2}+6\,}, intervalo de existência maximal contendo 0: (-2,\,3).
(b) y(x)=-\sqrt{-2x^{2}+2x+4}, intervalo de existência maximal contendo 1: (-1,\,2).
(c) y(x)=\dfrac{1}{\sqrt{\,3-2\sqrt{1+x^{2}}\,}}, intervalo de existência maximal contendo 0: \left(-\dfrac{\sqrt{5}}{2},\;\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right).
(d) Solução implícita \displaystyle \sin(3y)=3\cos^{2}x. Escolhendo o ramo que satisfaz a condição inicial,
y(x)=\frac{1}{3}\Big(\pi-\arcsin(3\cos^{2}x)\Big),
intervalo de existência maximal contendo x=\dfrac{\pi}{2}: \displaystyle\big(\operatorname{arccos}(1/\sqrt{3}),\;\operatorname{arccos}(-1/\sqrt{3})\big)\approx(0{,}9553,\;2{,}1863).

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