Exercício 2. Resolva o PVI e determine (pelo menos aproximadamente) um intervalo no qual a solução está definida
(a)
(b)
(c)
(d)
(a)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado pede e quais são os dados para cada item. Para cada problema a tarefa é: resolver o problema de valor inicial (PVI) — isto é, encontrar a solução
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial — e determinar (pelo menos aproximadamente) um intervalo em
onde essa solução está definida (o maior intervalo que contém o ponto inicial em que a solução faz sentido).
Dados:
- (a)
- (b)
- (c)
- (d)
Observação útil (que vou usar muitas vezes): quando a equação é “separável”, podemos escrever os termos envolvendo
multiplicando
de um lado e os termos em
multiplicando
do outro, e integrar. Sempre vou explicitar cada passo das integrais, substituições e como determinar o intervalo de validade (normalmente determinado por pontos onde alguma expressão no denominador ou dentro de raiz zera/torna-se negativa ou onde a solução tende a infinito).
Passo 2
Resolução do item (a). Primeiro reconhecemos que a equação é separável: podemos separar
e
.
Escrevemos:
Escrevemos:
Explicando a integral à esquerda:
, e
(porque a primitiva de
é
, aqui
dá
). À direita vamos integrar
.
Integramos ambos os lados:
Agora aplicamos a condição inicial
. Substituindo
,
:
Portanto a relação implícita/explicitada é
Isolando
:
Agora, para o intervalo de validade: a solução é bem definida enquanto o denominador for diferente de zero. Vamos achar onde
. Isso é equivalente a
, cujas raízes são
No ponto
ou
o denominador anula e
“explode” (singularidade vertical). O ponto inicial
está entre
e
, então o maior intervalo onde a solução existe e é finita contendo
é
Passo 3
Resolução do item (b). A equação é separável. Multiplicamos ambos os lados por
:
Integramos os dois lados. À esquerda
. À direita
. Assim
Multiplicando por
:
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
,
:
Logo
Isolando
, obtemos duas ramas:
Escolhemos o sinal que satisfaz a condição inicial
. Em
a raiz é
, então devemos tomar o sinal negativo:
Intervalo de validade: a expressão sob a raiz precisa ser não-negativa:
A equação
tem raízes
Como o coeficiente de
é positivo, o polinômio é ≤0 entre as raízes. Então a condição é
. Nos extremos a raiz vale zero; a solução é contínua até os extremos, mas fora desses pontos a expressão fica negativa e a solução real não existe. O ponto inicial
está dentro do intervalo, portanto o maior intervalo contíguo contendo
onde a solução real definida é
(se preferir incluir os extremos onde
em
ou
, a solução atinge zero precisamente nesses pontos; normalmente dizemos o intervalo de existência maximal como
se aceitarmos valores onde
— a equação original tem
no denominador? No item (b) a equação original escrita como
exige
para poder avaliá-la diretamente; portanto os pontos onde
são singulares para a forma explícita
. Assim a solução clássica como função diferenciável é definida no intervalo aberto
.)
Passo 4
Resolução do item (c). Novamente separável. Escrevemos:
Integramos. À esquerda
(porque
e aqui
). À direita calculamos
. Fazemos a substituição
, então
e
. Assim
Juntando:
Aplicamos a condição inicial
. Para
,
:
Portanto
Multiplicando por
:
Invertendo:
Escolhemos o sinal compatível com
, portanto a solução é
Agora a condição de existência: o denominador dentro da raiz deve ser positivo:
Elevando ao quadrado (note que ambos os lados são não-negativos):
Logo
Nos limites
o denominador zera e
explode. Assim o maior intervalo centrado em
onde a solução é bem definida é
Passo 5
Resolução do item (d). A equação dada está na forma diferencial exata separável:
Podemos rearranjar para separar as variáveis:
Integramos ambos os lados. Para a esquerda,
(porque a derivada de
é
). Para a direita,
(pois a derivada de
é
). Assim:
Aplicamos a condição
. Para
,
. Para
,
. Substituindo:
Logo a relação implícita entre
e
é
Multiplicando por
:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos uma forma mais simples:
Esta é a solução implícita. Podemos tentar resolver para
de forma explícita perto do ponto inicial. Note que a condição inicial dá
, e
satisfaz
. Ao desvendar a função inversa de
, devemos escolher o ramo contínuo que passa pelo valor inicial
. Para valores próximos do ponto inicial a escolha que garante continuidade é:
pois
e então em
temos
. Atenção: essa expressão explícita só faz sentido quando o argumento da função
estiver no intervalo
, isto é, quando
Como
, a restrição relevante é
, ou seja
Agora temos que encontrar o maior intervalo em
contendo
onde isso vale. As equações
correspondem aos pontos
Numericamente,
Para
entre esses valores temos
. O ponto inicial
está exatamente no meio desse intervalo. Portanto o maior intervalo aberto de
contendo
em que a solução existe (e onde a expressão implícita
é compatível com valores reais de
) é
Observação sobre os extremos: em cada extremo o lado direito atinge
(ou seja
), o que leva a
. Nesse ponto
e a fórmula diferencial original escrita isolando
envolveria divisão por zero (singularidade vertical da inclinação). Por isso normalmente tomamos o intervalo aberto. A solução implícita, no entanto, pode ser estendida até os extremos em valor, mas não além.
Resposta
(a)
intervalo de existência maximal contendo
:
.
(b) intervalo de existência maximal contendo
:
.
(c) intervalo de existência maximal contendo
:
.
(d) Solução implícita Escolhendo o ramo que satisfaz a condição inicial,
(b)
(c)
(d) Solução implícita
intervalo de existência maximal contendo
:
.