Considere o operador linear T: R^3 R^3 definido por
T(x, y, z)=(3 x-y+z, 7 x-5 y+z, 6 x-6 y+2 z)
(a) Encontre todos os autovalores de T.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear T(x, y, z) = (3x - y + z, , 7x - 5y + z, , 6x - 6y + 2z) definido por:
Nosso objetivo aqui é encontrar todos os autovalores de . Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente estudando autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar montar a matriz associada a e resolver sua equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a matriz que representa o operador linear T(1, 0, 0) = (3 cdot 1 - 0 + 0, , 7 cdot 1 - 0 + 0, , 6 cdot 1 - 0 + 0) = (3, 7, 6) . Lembrando que cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores canônicos T(0, 1, 0) = (3 cdot 0 - 1 + 0, , 7 cdot 0 - 5 cdot 1 + 0, , 6 cdot 0 - 6 cdot 1 + 0) = (-1, -5, -6) através de T(0, 0, 1) = (3 cdot 0 - 0 + 1, , 7 cdot 0 - 0 + 1, , 6 cdot 0 - 0 + 2) = (1, 1, 2) .
Então, vamos calcular:
A = 3 & -1 & 1 7 & -5 & 1 6 & -6 & 2
Portanto, a matriz de é:

Passo 3

Agora que temos a matriz det(A - lambda I) = 0 , vamos encontrar seus autovalores. Os autovalores são valores de A - lambda I = 3 - lambda & -1 & 1 7 & -5 - lambda & 1 6 & -6 & 2 - lambda que satisfazem a equação:
Aqui, é a matriz identidade 3x3. Vamos montar :

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante de det(A - lambda I) = 0 e igualar a zero para achar os autovalores.
3 - lambda & -1 & 1 7 & -5 - lambda & 1 6 & -6 & 2 - lambda = 0
Calculando o determinante:
(3 - lambda) cdot -5 - lambda & 1 -6 & 2 - lambda + 1 cdot 7 & 1 6 & 2 - lambda + 1 cdot 7 & -5 - lambda 6 & -6 = 0
Vamos expandir esse determinante:

Passo 5

Vamos calcular os menores:
  1. Primeiro menor:
-5 - lambda & 1 -6 & 2 - lambda = (-5 - lambda)(2 - lambda) - (1)(-6) = ( -10 + 5lambda - 2lambda + lambda^2 ) + 6 = lambda^2 + 3lambda - 4
  1. Segundo menor:
7 & 1 6 & 2 - lambda = 7(2 - lambda) - 1 cdot 6 = 14 - 7lambda - 6 = 8 - 7lambda
  1. Terceiro menor:
7 & -5 - lambda 6 & -6 = 7(-6) - (-5 - lambda)(6) = -42 + 30 + 6lambda = -12 + 6lambda

Passo 6

Agora, substituindo os menores na expressão do determinante:
(3 - lambda)(lambda^2 + 3lambda - 4) + 1(8 - 7lambda) + 1(-12 + 6lambda) = 0
Vamos expandir:
(3)(lambda^2 + 3lambda - 4) - lambda(lambda^2 + 3lambda - 4) + 8 - 7lambda -12 + 6lambda = 0
Simplificando:
3lambda^2 + 9lambda - 12 - lambda^3 - 3lambda^2 + 4lambda + 8 - 7lambda -12 + 6lambda = 0
Vamos agrupar os termos semelhantes:
-lambda^3 + (3lambda^2 - 3lambda^2) + (9lambda + 4lambda -7lambda +6lambda) + (-12 +8 -12) = 0
Simplificando mais:
-lambda^3 + 12lambda - 16 = 0
Multiplicando por -1 para simplificar:
lambda^3 - 12lambda + 16 = 0

Passo 7

Agora, precisamos resolver a equação cúbica:
lambda^3 - 12lambda + 16 = 0
Vamos tentar encontrar as raízes possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes racionais são divisores de 16 divididos por divisores de 1, ou seja, 2^3 - 12 cdot 2 + 16 = 8 - 24 + 16 = 0 .
Vamos testar :
Então, é uma raiz.

Passo 8

Agora que sabemos que lambda^3 - 12lambda + 16 = (lambda - 2)(lambda^2 + 2lambda - 8) = 0 é uma raiz, podemos fatorar a equação cúbica:
lambda = -2 pm raiz (2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-8) 2 cdot 1 = -2 pm raiz4 +32 2 = -2 pm raiz36 2 = -2 pm 6 2
Agora, vamos resolver a equação quadrática lambda = -2 + 6 2 = 2 e lambda = -2 -6 2 = -4 :
Usando a fórmula de Bhaskara:
Então, temos:

Resposta

Os autovalores de são (com multiplicidade 2) e .

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