Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um operador linear definido por:
Nosso objetivo aqui é encontrar todos os autovalores de . Isso faz parte da matéria de álgebra linear, especificamente estudando autovalores e autovetores. Para isso, vamos precisar montar a matriz associada a e resolver sua equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a matriz que representa o operador linear . Lembrando que cada coluna da matriz corresponde à imagem dos vetores canônicos através de .
Então, vamos calcular:
Portanto, a matriz de é:
Passo 3
Agora que temos a matriz det(A - lambda I) = 0 , vamos encontrar seus autovalores. Os autovalores são valores de A - lambda I = 3 - lambda & -1 & 1 7 & -5 - lambda & 1 6 & -6 & 2 - lambda que satisfazem a equação:
Aqui, é a matriz identidade 3x3. Vamos montar :
Passo 4
Agora, vamos calcular o determinante de det(A - lambda I) = 0 e igualar a zero para achar os autovalores.
Vamos tentar encontrar as raízes possíveis usando o Teorema das Raízes Racionais. As possíveis raízes racionais são divisores de 16 divididos por divisores de 1, ou seja, 2^3 - 12 cdot 2 + 16 = 8 - 24 + 16 = 0 .
Vamos testar :
Então, é uma raiz.
Passo 8
Agora que sabemos que lambda^3 - 12lambda + 16 = (lambda - 2)(lambda^2 + 2lambda - 8) = 0 é uma raiz, podemos fatorar a equação cúbica: