Considere alpha a base canônica de R^2 e seja T: R^2 R^2 o operador linear que satisfaz
[T]alpha^alpha=[rr -1 & -2 0 & 1 ]
Determine o núcleo e a imagem de T;

Passo 1

O enunciado dá um operador linear T:R^2toR^2 cuja matriz na base canônica alpha é
[T]alpha^alpha = -1 & -2 0 & 1
O conteúdo é encontrar ker(T) resolvendo T(x,y)=(0,0) e Im(T) como o espaço gerado pelas colunas dessa matriz.

Passo 2

Para achar resolvemos
Isso gera o sistema

Passo 3

Da segunda equação vem y=0. Substituindo na primeira obtemos -x=0, logo x=0. Portanto
ker(T)=(0,0)

Passo 4

A imagem de T é o espaço gerado pelas colunas de [T]alpha^alpha, ou seja,
Im(T) =spanl(-1,0),,(-2,1)r

Passo 5

Como as colunas (-1,0) e (-2,1) são linearmente independentes (determinante -1neq0), elas formam uma base de R^2. Logo
Im(T)=R^2

Resposta

ker(T)=(0,0)
Im(T)=R^2

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