Seja T: M(2,2) R^2, definida por
T([ll a & b c & d ])=(a+d, b+c)
Sejam alpha e beta as bases canônicas de R^2 e M(2,2), respectivamente, e gamma=(1,-1),(1,2).
Encontre [T]alpha^beta e[T]gamma^beta;

Passo 1

O enunciado define a transformação linear Tcolon M(2,2)to R^2 por
Tl(a & b c & dr)=(a+d,;b+c)
As bases envolvidas são
beta=E11,E12,E21,E22 (base canônica de M(2,2)),
alpha=(1,0),(0,1) (base canônica de R^2)
e gamma=(1,-1),(1,2).
Queremos encontrar a matriz de T em relação a beta no domínio e alpha no contradomínio ( [T]alpha^beta), e em relação a beta no domínio e gamma no contradomínio ( [T]gamma^beta).

Passo 2

Na base beta, em que Eij é a matriz com 1 na posição (i,j) e zero nos demais lugares, temos
T(E11)=(1+0,;0+0)=(1,0), T(E12)=(0+0,;1+0)=(0,1),
T(E21)=(0+0,;0+1)=(0,1), T(E22)=(0+1,;0+0)=(1,0)
Como a base alpha é (1,0),(0,1), as colunas de [T]alpha^beta são exatamente esses vetores, na ordem E11,E12,E21,E22:
[T]alpha^beta = 1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0

Passo 3

Para expressar as mesmas imagens na base gamma=v1=(1,-1),,v2=(1,2), resolvemos, para cada (x,y)=T(Eij), o sistema
c1+c2 = x, -c1+2c2 = y,
onde (c1,c2) são as coordenadas em relação a gamma.
Para (x,y)=(1,0) obtém-se l(c1,c2r)=l(tfrac23,tfrac13r).
Para (x,y)=(0,1) obtém-se l(c1,c2r)=l(-tfrac13,tfrac13r).
Como T(E12) e T(E21) dão o mesmo (0,1), as colunas 2 e 3 de [T]gamma^beta coincidem, e a coluna 4 repete a da 1. Logo
[T]gamma^beta = 23 & -13 & -13 & 23 13 & 13 & 13 & 13

Resposta

[T]alpha^beta=
1 & 0 & 0 & 1 0 & 1 & 1 & 0 ,
[T]gamma^beta=
23 & -13 & -13 & 23 13 & 13 & 13 & 13

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