Considere
a base canônica de
e seja
o operador linear que satisfaz
Se
T for um isomorfismo, encontre
[T^-1] , e determine
T^-1(x, y) .
Passo 1
O enunciado dá o operador linear
T:R^2toR^2 cuja matriz na base canônica
alpha é
Como
T é isomorfismo,
A deve ser invertível. Vamos usar a fórmula da inversa de matriz
2times2 para encontrar
[T^-1] e então aplicar a um vetor
(x,y) .
Passo 2
Para verificar a invertibilidade, calculamos o determinante de
A :
Logo
A é invertível e sua inversa existe.
Passo 3
A fórmula da inversa de
a & b c & d
é1ad-bcd & -b-c & a . Aqui
a=-1 ,
b=-2 ,
c=0 ,
d=1 , e
ad-bc=-1 . Assim
é
Passo 4
Para achar
T^-1(x,y) , multiplicamos
A^-1 pelo vetor coluna
l(x,yr) :