Considere alpha a base canônica de R^2 e seja T: R^2 R^2 o operador linear que satisfaz
[T]alpha^alpha=[rr -1 & -2 0 & 1 ]
Se T for um isomorfismo, encontre [T^-1], e determine T^-1(x, y).

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:R^2toR^2 cuja matriz na base canônica alpha é
A = [T]alpha^alpha = -1 & -2 0 & 1
Como T é isomorfismo, A deve ser invertível. Vamos usar a fórmula da inversa de matriz 2times2 para encontrar [T^-1] e então aplicar a um vetor (x,y).

Passo 2

Para verificar a invertibilidade, calculamos o determinante de A:
det(A) = (-1)cdot1 - 0cdot(-2) = -1 neq 0
Logo A é invertível e sua inversa existe.

Passo 3

A fórmula da inversa de
a & b c & d
é 1ad-bcd & -b-c & a. Aqui a=-1, b=-2, c=0, d=1, e ad-bc=-1. Assim
A^-1 = 1-1 1 & 2 0 & -1 = -1 & -2 0 & 1

Passo 4

Para achar T^-1(x,y), multiplicamos A^-1 pelo vetor coluna l(x,yr):
T^-1(x,y) = -1 & -2 0 & 1 x y = -,x ;-;2y y

Resposta

[T^-1] = -1 & -2 0 & 1 , T^-1(x,y)=(-x-2y,;y)

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