Considere alpha a base canônica de R^2 e seja T: R^2 R^2 o operador linear que satisfaz
[T]alpha^alpha=[rr -1 & -2 0 & 1 ]
Se possível, encontre u, v in R^2 tais que T(u)=u e T(v)=-v;

Passo 1

O enunciado nos dá o operador linear TcolonR^2toR^2 cuja matriz na base canônica alpha é
A = [T]alpha^alpha = -1 & -2 0 & 1
Queremos achar u tal que T(u)=u e v tal que T(v)=-v. Isso equivale a encontrar vetores próprios de A para os autovalores lambda=1 e lambda=-1.

Passo 2

Para encontrar os autovalores resolvemos
det(A - lambda I) = det -1-lambda & -2 0 & 1-lambda =(-1-lambda)(1-lambda)=0
Isso dá lambda1=1 e lambda2=-1.

Passo 3

Para resolvemos , ou seja
Logo podemos escolher , , obtendo
que satisfaz .

Passo 4

Para resolvemos , ou seja
Tomando , , vem
que satisfaz .

Resposta

u=(1,-1)^T e v=(1,0)^T.

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