Sejam
alpha=(1,-1),(0,2) e beta=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0)
bases ordenadas de R^2 e R^3, respectivamente; e seja T: R^2 R^3 a transformação linear tal que
[T]beta^alpha=[rr 1 & 0 1 & 1 0 & -1 ]
Determine uma base gamma de R^3, tal que
[T]gamma^alpha=[ll 1 & 0 0 & 0 0 & 1 ]

Passo 1

O enunciado nos dá bases ordenadas
alpha=(1,-1),(0,2) em R^2 e
beta=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0) em R^3,
além da matriz de T:R^2toR^3 em coordenadas alphatobeta:
[T]beta^alpha = 1 & 0 1 & 1 0 & -1
Queremos uma base gamma=g1,g2,g3 de R^3 tal que
[T]gamma^alpha = 1 & 0 0 & 0 0 & 1
Isso significa que, escrevendo coluna a coluna,
T(alpha1)=g1, T(alpha2)=g3,
e g2 pode ser qualquer vetor que complete g1,g2,g3 a uma base.

Passo 2

Calculemos T(alpha1) e T(alpha2) em coordenadas padrão. Pelas colunas de [T]beta^alpha:
T(alpha1)=1beta1+1beta2+0beta3 =beta1+beta2 =(1,0,-1)+(0,1,2) =(1,1,1),
T(alpha2)=0beta1+1beta2-1beta3 =beta2-beta3 =(0,1,2)-(1,2,0) =(-1,-1,2)

Passo 3

Para cumprir a forma desejada, escolhemos
g1=T(alpha1)=(1,1,1), g3=T(alpha2)=(-1,-1,2)
Falta g2. Podemos escolher, por exemplo,
g2=beta1=(1,0,-1)
Verifique-se que g1,g2,g3 é linearmente independente (não há escalares a,b tais que a,g1+b,g3=g2).

Passo 4

Portanto
gamma=,g1,g2,g3 =(1,1,1),;(1,0,-1),;(-1,-1,2)
é uma base de R^3 em que
[T]gamma^alpha tem colunas (1,0,0) e (0,0,1), i.e.
[T]gamma^alpha = 1 & 0 0 & 0 0 & 1

Resposta

gamma=(1,1,1),;(1,0,-1),;(-1,-1,2)

Exercícios relacionados