Considere alpha a base canônica de R^2 e seja T: R^2 R^2 o operador linear que satisfaz
[T]alpha^alpha=[rr -1 & -2 0 & 1 ]
(a) Se possível, encontre u, v in R^2 tais que T(u)=u e T(v)=-v;
(b) Determine o núcleo e a imagem de T;
(c) Se T for um isomorfismo, encontre [T^-1], e determine T^-1(x, y).

Passo 1

O enunciado dá o operador linear T:R^2toR^2 cuja matriz na base canônica alpha é
[T]alpha^alpha = -1 & -2 0 & 1
Precisamos:
(a) encontrar vetores u,v tais que T(u)=u e T(v)=-v (ou seja, autovetores para autovalores 1 e -1);
(b) determinar ker T e imT;
(c) verificar se T é isomorfismo e, em caso afirmativo, achar [T^-1] e a fórmula de T^-1(x,y).

Passo 2

Calculamos primeiro os autovalores de
resolvendo :
Para , resolvemos :
Escolhendo obtemos
Para , resolvemos :
Tomando , verifica-se

Passo 3

Para achar
daí . Logo
A é o espaço gerado pelas colunas de , isto é por e . Como são linearmente independentes em , temos

Passo 4

Como e , é isomorfismo. Calculamos
então
Logo e, para ,

Resposta

(a) Podemos escolher
u=(1,-1), v=(1,0)
(b)
ker T=(0,0), imT=R^2
(c) T é isomorfismo e
[T^-1]alpha^alpha = -1 & -2 0 & 1 , T^-1(x,y)=(-x-2y,;y)

Exercícios relacionados