Considere a base canônica de e seja o operador linear que satisfaz
(a) Se possível, encontre u, v in R^2 tais que T(u)=u e T(v)=-v;
(b) Determine o núcleo e a imagem de T;
(c) Se T for um isomorfismo, encontre [T^-1], e determine T^-1(x, y).
Passo 1
O enunciado dá o operador linear T:R^2toR^2 cuja matriz na base canônica alpha é
[T]alpha^alpha = -1 & -2 0 & 1
Precisamos:
(a) encontrar vetores u,v tais que T(u)=u e T(v)=-v (ou seja, autovetores para autovalores 1 e -1);
(b) determinar ker T e imT;
(c) verificar se T é isomorfismo e, em caso afirmativo, achar [T^-1] e a fórmula de T^-1(x,y).
Passo 2
Calculamos primeiro os autovalores de
resolvendo :
Para , resolvemos :
Escolhendo obtemos
Para , resolvemos :
Tomando , verifica-se
Passo 3
Para achar
daí . Logo
A é o espaço gerado pelas colunas de , isto é por e . Como são linearmente independentes em , temos