Nos exercícios 3 a 12, verifique se W é subespaço vetorial de V.
V=R^2, W=(x, y) / y=-x

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=R^2 e o subconjunto
W = (x,y)inR^2 mid y = -x
O objetivo é mostrar que W é subespaço de V. Pela teoria de espaços vetoriais, basta verificar três propriedades:
1) W não é vazio e contém o vetor nulo;
2) W é fechado sob soma de vetores;
3) W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificação do vetor nulo: o vetor nulo de R^2 é (0,0). Como
0 = -0,
temos (0,0)in W. Portanto W contém o vetor nulo.

Passo 3

Fechamento sob adição: sejam
u=(x1,y1)in W, v=(x2,y2)in W
Pela definição de W, y1 = -x1 e y2 = -x2. Então
u+v = (x1+x2,;y1+y2)
e
y1+y2 = -x1 + (-x2) = -(x1+x2)
Logo u+v também satisfaz a relação segunda coordenada = negativo da primeira, ou seja u+vin W.

Passo 4

Fechamento sob escalar: seja alphainR e u=(x,y)in W com y=-x. Então
alpha,u = (alpha x,;alpha y)
e
alpha y = alpha(-x) = -(alpha x)
Logo alpha u também satisfaz a relação y' = -x', isto é alpha uin W.

Resposta

O conjunto W satisfaz todas as condições de subespaço vetorial de R^2. Portanto,
W é subespaço vetorial de V.

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