Nos exercícios 3 a 12, verifique se
é subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e o subconjunto
O objetivo é mostrar que
é subespaço de
. Pela teoria de espaços vetoriais, basta verificar três propriedades:
)
não é vazio e contém o vetor nulo;
)
é fechado sob soma de vetores;
)
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificação do vetor nulo: o vetor nulo de
é
. Como
temos
. Portanto
contém o vetor nulo.
Passo 3
Fechamento sob adição: sejam
Pela definição de
,
e
. Então
e
Logo
também satisfaz a relação segunda coordenada
negativo da primeira, ou seja
.
Passo 4
Fechamento sob escalar: seja
e
com
. Então
e
Logo
também satisfaz a relação
, isto é
.
Resposta
O conjunto
satisfaz todas as condições de subespaço vetorial de
. Portanto,
é subespaço vetorial de
.