Mesma questão anterior, considerando agora , definida por .
Passo 1
O enunciado define o operador linear
onde é o espaço dos polinômios de grau . Vamos achar a matriz de na base canônica e, a partir daí, determinar , , o posto (rank) e a nulidade (nullity) para decidir se é invertível.
Passo 2
Seja um polinômio genérico
Então
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Passo 3
Aplicamos aos vetores da base canônica:
Passo 4
Como em coordenadas da base o polinômio é e 2x^2 é 002, a matriz de T é
[T]1,x,x^2 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2
Passo 5
Para encontrar ker T, resolvemos T(p)=0. Como T(p)=2a,x^2, isso vale forall x se e somente se 2a=0, ou seja a=0. Portanto
ker T=,b x + cmid b,cinR,
que é um subespaço de dimensão 2 (nulidade =2).
Passo 6
A imagem de T é gerada pelos vetores coluna não nulos da matriz, ou seja
ImT=spanx^2,
de dimensão 1 (posto =1).
Passo 7
Pelo teorema dimensão–número:
dim(ker T)+dim(ImT)=2+1=3=dim P2,
confirmação de consistência. Como o posto <3, T não é sobrejetora nem injetora, portanto não tem inversa em P2.
Resposta
A matriz de T na base 1,x,x^2 é
0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 ,
ker T=b x + cmid b,cinR com nulidade 2, ImT=spanx^2 com posto 1, e T não é invertível.