Mesma questão anterior, considerando agora T: P2 P2, definida por T(p(x))= x^2 p^prime prime(x).

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon P2to P2, Tl(p(x)r)=x^2,p''(x),
onde P2 é o espaço dos polinômios de grau <=2. Vamos achar a matriz de T na base canônica 1,x,x^2 e, a partir daí, determinar ker T, ImT, o posto (rank) e a nulidade (nullity) para decidir se T é invertível.

Passo 2

Seja um polinômio genérico
p(x)=a x^2+b x+c
Então
p'(x)=2a x + b, p''(x)=2a
Logo
Tl(p(x)r)=x^2,(2a)=2a,x^2

Passo 3

Aplicamos T aos vetores da base canônica:
T(1)=T(x^0)=2cdot0cdot x^2=0,
T(x)=2cdot0cdot x^2=0,
T(x^2)=2cdot1cdot x^2=2,x^2

Passo 4

Como em coordenadas da base 1,x,x^2 o polinômio 0 é 000 e 2x^2 é 002, a matriz de T é
[T]1,x,x^2 = 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2

Passo 5

Para encontrar ker T, resolvemos T(p)=0. Como T(p)=2a,x^2, isso vale forall x se e somente se 2a=0, ou seja a=0. Portanto
ker T=,b x + cmid b,cinR,
que é um subespaço de dimensão 2 (nulidade =2).

Passo 6

A imagem de T é gerada pelos vetores coluna não nulos da matriz, ou seja
ImT=spanx^2,
de dimensão 1 (posto =1).

Passo 7

Pelo teorema dimensão–número:
dim(ker T)+dim(ImT)=2+1=3=dim P2,
confirmação de consistência. Como o posto <3, T não é sobrejetora nem injetora, portanto não tem inversa em P2.

Resposta

A matriz de T na base 1,x,x^2 é
0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 0 & 0 & 2 ,
ker T=b x + cmid b,cinR com nulidade 2, ImT=spanx^2 com posto 1, e T não é invertível.

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