bases ordenadas de e , respectivamente; e seja a transformação linear tal que
(a) Encontre T(x, y);
(b) Se S(x, y)=(2 y, x-y, x), encontre [S]beta^alpha;
(c) Determine uma base gamma de R^3, tal que
[T]gamma^alpha=[ll 1 & 0 0 & 0 0 & 1 ]
Passo 1
O enunciado dá duas bases ordenadas alpha=(1,-1),(0,2)subsetR^2 e beta=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0)subsetR^3,
além de uma transformação linear T:R^2toR^3 cuja matriz em relação a essas bases é
[T]beta^alpha = 1 & 0 1 & 1 0 & -1
Precisamos:
(a) achar a fórmula de T(x,y) no sistema canônico;
(b) dada S(x,y)=(2y,;x-y,;x), encontrar [S]beta^alpha;
(c) escolher uma base gamma de R^3 tal que ,[T]gamma^alpha=1&00&00&1.
Passo 2
Para (a) determinamos primeiro as imagens dos vetores de alpha. As colunas de [T]beta^alpha são as coordenadas de T(1,-1) e T(0,2) na base beta. Assim:
Em seguida escrevemos cada imagem como combinação de com , , . Por exemplo, para obtemos o sistema
cuja solução é ((c_1,c_2,c_3)=(-\tfrac{11}{3},-\tfrac{4}{3},\tfrac{5}{3})]. De modo análogo,
Portanto
Passo 5
Para (c) queremos [T]gamma^alpha=1&00&00&1. As colunas dessa matriz são as coordenadas de T(1,-1)=(1,1,1) e T(0,2)=(-1,-1,2) na base gamma=gamma1,gamma2,gamma3. Logo basta escolher
gamma1=T(1,-1)=(1,1,1), gamma3=T(0,2)=(-1,-1,2),
e qualquer vetore gamma2 que torne gamma1,gamma2,gamma3 independente. Por exemplo gamma2=(1,-1,0) funciona (o determinante da matriz formada por essas colunas dá -6neq0).
Resposta
(a) T(x,y)=l(tfracx-y2,;tfracx-y2,;2x+yr)
(b) [S]beta^alpha= -tfrac113 & tfrac203 -tfrac43 & tfrac103 tfrac53 & -tfrac83
(c) Uma escolha válida é gamma=(1,1,1),,(1,-1,0),,(-1,-1,2)