Sejam
alpha=(1,-1),(0,2) e beta=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0)
bases ordenadas de R^2 e R^3, respectivamente; e seja T: R^2 R^3 a transformação linear tal que
[T]beta^alpha=[rr 1 & 0 1 & 1 0 & -1 ]
(a) Encontre T(x, y);
(b) Se S(x, y)=(2 y, x-y, x), encontre [S]beta^alpha;
(c) Determine uma base gamma de R^3, tal que
[T]gamma^alpha=[ll 1 & 0 0 & 0 0 & 1 ]

Passo 1

O enunciado dá duas bases ordenadas
alpha=(1,-1),(0,2)subsetR^2 e
beta=(1,0,-1),(0,1,2),(1,2,0)subsetR^3,
além de uma transformação linear T:R^2toR^3 cuja matriz em relação a essas bases é
[T]beta^alpha = 1 & 0 1 & 1 0 & -1
Precisamos:
(a) achar a fórmula de T(x,y) no sistema canônico;
(b) dada S(x,y)=(2y,;x-y,;x), encontrar [S]beta^alpha;
(c) escolher uma base gamma de R^3 tal que
,[T]gamma^alpha=1&00&00&1.

Passo 2

Para (a) determinamos primeiro as imagens dos vetores de alpha. As colunas de [T]beta^alpha são as coordenadas de T(1,-1) e T(0,2) na base beta. Assim:
T(1,-1)xrightarrow[beta]110 Longrightarrow T(1,-1)=1,(1,0,-1)+1,(0,1,2)+0,(1,2,0)=(1,1,1),
T(0,2)xrightarrow[beta]01-1 Longrightarrow T(0,2)=0,(1,0,-1)+1,(0,1,2)-1,(1,2,0)=(-1,-1,2)

Passo 3

Agora escrevemos um vetor genérico (x,y) da forma
(x,y)=a,(1,-1)+b,(0,2)
Daqui a=x e -a+2b=yimplies b=(x+y)/2. Como T é linear,
T(x,y) =x,T(1,-1)+x+y2,T(0,2) =x,(1,1,1)+x+y2,(-1,-1,2)
Calculando coordenada a coordenada:
T(x,y) =l(x-tfracx+y2,;x-tfracx+y2,;x+2cdottfracx+y2r) =l(tfracx-y2,;tfracx-y2,;2x+yr)

Passo 4

Para (b) fazemos a mesma ideia com
Em seguida escrevemos cada imagem como combinação de com
, , . Por exemplo, para obtemos o sistema
cuja solução é ((c_1,c_2,c_3)=(-\tfrac{11}{3},-\tfrac{4}{3},\tfrac{5}{3})]. De modo análogo,

Portanto

Passo 5

Para (c) queremos [T]gamma^alpha=1&00&00&1. As colunas dessa matriz são as coordenadas de T(1,-1)=(1,1,1) e T(0,2)=(-1,-1,2) na base gamma=gamma1,gamma2,gamma3. Logo basta escolher
gamma1=T(1,-1)=(1,1,1), gamma3=T(0,2)=(-1,-1,2),
e qualquer vetore gamma2 que torne gamma1,gamma2,gamma3 independente. Por exemplo
gamma2=(1,-1,0) funciona (o determinante da matriz formada por essas colunas dá -6neq0).

Resposta

(a) T(x,y)=l(tfracx-y2,;tfracx-y2,;2x+yr)
(b) [S]beta^alpha= -tfrac113 & tfrac203 -tfrac43 & tfrac103 tfrac53 & -tfrac83
(c) Uma escolha válida é
gamma=(1,1,1),,(1,-1,0),,(-1,-1,2)

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