Mostre que o conjunto
munido das operações usuais de adição de matrizes e multiplicação de uma matriz por um escalar é um espaço vetorial.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
de todas as matrizes
com entradas em um corpo (por exemplo
) é um espaço vetorial quando equipado com a soma usual de matrizes e a multiplicação usual de matriz por escalar. Precisamos verificar todas as propriedades (axiomas) de espaço vetorial: fechamento, associatividade e comutatividade da soma, existência do vetor zero e inverso aditivo, e as regras de distributividade e associatividade envolvendo escalares.
Passo 2
Fechamento das operações:
- Sejam
em
. A soma
é novamente uma matriz
, logo permanece em
.
2. Seja um escalar em
.
2. Seja
também é uma matriz
. Assim,
é fechado sob soma e multiplicação por escalar.
Passo 3
Propriedades da soma de matrizes:
- Comutatividade:
pois a soma de números reais é comutativa em cada entrada.
2. Associatividade: para ,
2. Associatividade: para
novamente seguindo a associatividade da soma de reais em cada posição.
Passo 4
Existência de elemento neutro e de inverso aditivo:
- Neutro aditivo: a matriz nula
satisfaz
para todo
.
2. Inverso aditivo: para cada
2. Inverso aditivo: para cada
definimos
que satisfaz
.
Passo 5
Distributividade e propriedades envolvendo escalares:
- Distributividade do escalar sobre soma de vetores: para
e ,
pois
em cada entrada.
2. Distributividade da soma de escalares sobre vetor: para e
,
2. Distributividade da soma de escalares sobre vetor: para
Passo 6
Associatividade da multiplicação por escalar e elemento unitário:
- Para
e ,
pois
.
2. O escalar satisfaz
2. O escalar
já que
em cada entrada.
Resposta
Como todas as propriedades de espaço vetorial (fechamento, associatividade e comutatividade da soma, existência de neutro e inverso aditivo, distributividades e associatividade/identidade de escalares) estão satisfeitas em
, concluímos que
munido das operações usuais é de fato um espaço vetorial sobre
.