Mostre que o conjunto M(2,2) munido das operações usuais de adição de matrizes e multiplicação de uma matriz por um escalar é um espaço vetorial.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto M(2,2) de todas as matrizes 2times2 com entradas em um corpo (por exemplo R) é um espaço vetorial quando equipado com a soma usual de matrizes e a multiplicação usual de matriz por escalar. Precisamos verificar todas as propriedades (axiomas) de espaço vetorial: fechamento, associatividade e comutatividade da soma, existência do vetor zero e inverso aditivo, e as regras de distributividade e associatividade envolvendo escalares.

Passo 2

Fechamento das operações:
  1. Sejam
em . A soma
é novamente uma matriz , logo permanece em .
2. Seja um escalar em .
também é uma matriz . Assim, é fechado sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 3

Propriedades da soma de matrizes:
  1. Comutatividade:
A+B = B+A
pois a soma de números reais é comutativa em cada entrada.
2. Associatividade: para A,B,Cin M(2,2),
(A+B)+C = A+(B+C),
novamente seguindo a associatividade da soma de reais em cada posição.

Passo 4

Existência de elemento neutro e de inverso aditivo:
  1. Neutro aditivo: a matriz nula
satisfaz para todo .
2. Inverso aditivo: para cada
definimos
que satisfaz .

Passo 5

Distributividade e propriedades envolvendo escalares:
  1. Distributividade do escalar sobre soma de vetores: para lambdainR e A,Bin M(2,2),
lambda (A+B) = lambda A + lambda B,
pois lambda(aij+bij)=lambda aij+lambda bij em cada entrada.
2. Distributividade da soma de escalares sobre vetor: para lambda,muinR e Ain M(2,2),
(lambda + mu)A = lambda A + mu A

Passo 6

Associatividade da multiplicação por escalar e elemento unitário:
  1. Para lambda,muinR e Ain M(2,2),
(lambda,mu),A = lambda,(mu,A),
pois (lambdamu)aij=lambda(mu aij).
2. O escalar 1 satisfaz
1cdot A = A
já que 1cdot aij=aij em cada entrada.

Resposta

Como todas as propriedades de espaço vetorial (fechamento, associatividade e comutatividade da soma, existência de neutro e inverso aditivo, distributividades e associatividade/identidade de escalares) estão satisfeitas em M(2,2), concluímos que M(2,2) munido das operações usuais é de fato um espaço vetorial sobre R.

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