Considere alpha:(-1,1) longrightarrow R^3 dada por alpha(s)=((1+s)^3 / 23, (1-s)^3 / 23, sraiz2).
(a) Verifique que alpha está parametrizada pelo comprimento de arco.
(b) Encontre os vetores T(s), N(s) e B(s).
Resposta: (b) T(s) =(12(1+s)^1 / 2,-12(1-s)^1 / 2, 1raiz2) N(s)= (raiz22(1-s)^1 / 2,-raiz22(1+s)^1 / 2, 0) B(s)=(12(1+s)^1 / 2, 12(1-s)^1 / 2,-sraiz2)

Passo 1

O enunciado dá a curva \r
alpha:(-1,1)toR^3 \r
alpha(s)=l(tfrac(1+s)^3/23,;tfrac(1-s)^3/23,;tfracsraiz2r)\r
e pede: \r
– (a) verificar que alpha é parametrizada por comprimento de arco; \r
– (b) encontrar os vetores de Frenet T(s), N(s), B(s). \r
Para (a) vamos calcular alpha'(s) e mostrar que |alpha'(s)|=1. A partir daí, em (b) utilizamos \r
T(s)=alpha'(s), \r
N(s)= T'(s)/| T'(s)| e \r
B(s)= T(s)times N(s).

Passo 2

Calculemos \r
alpha'(s)=l(tfrac12(1+s)^1/2,;-tfrac12(1-s)^1/2,;tfrac1raiz2r)\r
Para o módulo: \r
\r
logo |alpha'(s)|=1. Isso prova que s é parâmetro de comprimento de arco.

Passo 3

Como alpha é unitária, \r
\r
Em seguida computamos \r

Passo 4

O módulo de T'(s) é \r
\r
Logo a normal principal é \r

Passo 5

Finalmente o binormal é \r
\r
o que fecha o sistema de Frenet.

Resposta

T(s)=l(tfrac12raiz1+s,;-tfrac12raiz1-s,;tfrac1raiz2r),
N(s)=l(tfracraiz22raiz1-s,;tfracraiz22raiz1+s,;0r),
B(s)=l(-tfrac12raiz1+s,;tfrac12raiz1-s,;tfracraiz22r)

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