Verificar que no intervalo (0, infty), a função y(x)=3 x^2-6 x+3 satisfaz a equação diferencial e as condições do problema de valor de contorno,
x^2 y^prime prime-2 x y^prime+2 y=6, y(1)=0, y(2)=3

Passo 1

O enunciado pede para verificar que, no intervalo (0,infty), a função
y(x)=3x^2-6x+3
satisfaz a equação diferencial
x^2y''-2x,y'+2y=6
e ainda atende às condições de contorno y(1)=0 e y(2)=3. Vamos calcular as derivadas de y, substituir na EDO e depois conferir os valores em x=1 e x=2.

Passo 2

Derivando y(x)=3x^2-6x+3 obtemos
y'(x)=6x-6
e
y''(x)=6

Passo 3

Substituindo em
x^2y''-2x,y'+2y
temos
x^2cdot6 ;-;2x,(6x-6);+;2,(3x^2-6x+3)
Desenvolvendo e somando termos:
6x^2-12x^2+12x+6x^2-12x+6 = (6x^2-12x^2+6x^2)+(12x-12x)+6 = 0+0+6 =6,
logo a equação diferencial fica satisfeita.

Passo 4

Agora avaliamos y nas condições de contorno:
y(1)=3cdot1^2-6cdot1+3=3-6+3=0,
y(2)=3cdot2^2-6cdot2+3=12-12+3=3
Portanto, y(1)=0 e y(2)=3 conferem com o enunciado.

Resposta

A função y(x)=3x^2-6x+3 satisfaz tanto a equação diferencial x^2y''-2x,y'+2y=6 quanto as condições de contorno y(1)=0 e y(2)=3 no intervalo (0,infty).

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