Encontre o maior intervalo onde a solução do problema de valor inicial a seguir existe e é única,
y^prime prime(t)+ln (|t+1|) y^prime(t)-raiz4-t^2 y(t)=0, y(0)=1, y^prime(0)=3.

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y''(t) + lnl(|t+1|r),y'(t) - raiz4 - t^2,y(t) = 0, y(0)=1,;y'(0)=3
e pede o maior intervalo onde exista e seja única a solução.
Conteúdo: Teorema de existência e unicidade para EDO linear de segunda ordem na forma padrão
y'' + p(t),y' + q(t),y = 0

Passo 2

Colocamos a EDO em forma padrão e identificamos
p(t) = lnl(|t+1|r), q(t) = -raiz4 - t^2
O teorema exige que p e q sejam contínuas num intervalo aberto contendo t0=0.

Passo 3

Analisamos a continuidade de p e q:
  • lnl(|t+1|r) é contínua sempre que t+1 neq 0, ou seja, t neq -1.
  • raiz4 - t^2 é bem definida e contínua para -2<= t <= 2.
Portanto, o domínio real no qual ambas as funções são reais e bem comportadas é
-2 <= t <= 2
com a ressalva de que p falha em t=-1.

Passo 4

Precisamos do maior intervalo aberto contendo 0 que não inclua o ponto singular t=-1 nem ultrapasse |t|>2. Da análise, esse intervalo é
(-1,,2)
Dentro de (-1,2), tanto p(t) quanto q(t) são contínuas, garantindo existência e unicidade da solução pelo teorema de EDO linear.

Resposta

(-1,,2)

Exercícios relacionados