Encontre o maior intervalo onde a solução do problema de valor inicial a seguir existe e é única,
.
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial
e pede o maior intervalo onde exista e seja única a solução.
Conteúdo: Teorema de existência e unicidade para EDO linear de segunda ordem na forma padrão
Conteúdo: Teorema de existência e unicidade para EDO linear de segunda ordem na forma padrão
Passo 2
Colocamos a EDO em forma padrão e identificamos
O teorema exige que
e
sejam contínuas num intervalo aberto contendo
.
Passo 3
Analisamos a continuidade de
e
:
-
é contínua sempre que , ou seja, . -
é bem definida e contínua para .
Portanto, o domínio real no qual ambas as funções são reais e bem comportadas é
com a ressalva de que
falha em
.
Passo 4
Precisamos do maior intervalo aberto contendo
que não inclua o ponto singular
nem ultrapasse
. Da análise, esse intervalo é
Dentro de
, tanto
quanto
são contínuas, garantindo existência e unicidade da solução pelo teorema de EDO linear.