Considere uma amostra aleatória \left(X_{1}, \ldots, X_{n}\right) onde as variáveis X_{i} são independente e têm distribuição N(12,5 ; 7). Considere o estimador \bar{X} da amostra. Calcule a média, a variância e o desvio padrão de \bar{X} para:
(c) n=100

Passo 1

O enunciado fornece uma amostra aleatória (X_{1},\dots,X_{n}) de uma distribuição normal N(12,5;7). Vamos considerar o estimador da média amostral
\bar X = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i
e determinar sua média, variância e desvio padrão no caso n=100. Para isso, usaremos propriedades da esperança e da variância de combinações lineares de variáveis independentes.

Passo 2

Calcular \mathbb E[\bar X]: pela linearidade da esperança temos
\mathbb E[\bar X] = \mathbb E\Bigl(\tfrac1n\sum_{i=1}^n X_i\Bigr) = \tfrac1n\sum_{i=1}^n \mathbb E[X_i] = \tfrac1n \cdot n\,\mu = \mu.
Como \mu = 12,5, segue
\mathbb E[\bar X] = 12,5.

Passo 3

Calcular \mathrm{Var}(\bar X): para variáveis independentes vale
\mathrm{Var}(\bar X) = \mathrm{Var}\Bigl(\tfrac1n\sum_{i=1}^n X_i\Bigr) = \tfrac1{n^2}\sum_{i=1}^n \mathrm{Var}(X_i) = \tfrac1{n^2}\cdot n\,\sigma^2 = \frac{\sigma^2}{n}.
Com \sigma^2 = 7 e n = 100, resulta
\mathrm{Var}(\bar X) = \frac{7}{100} = 0,07.

Passo 4

O desvio padrão de \bar X é a raiz quadrada de sua variância, ou seja,
\mathrm{sd}(\bar X) = \sqrt{\mathrm{Var}(\bar X)} = \sqrt{0,07} = \frac{\sqrt{7}}{10} \approx 0,2646.

Resposta

\mathbb E[\bar X]=12,5 \mathrm{Var}(\bar X)=0,07 \mathrm{sd}(\bar X)\approx0,2646

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