Considere uma amostra aleatória de uma população X com média \mu=50 e variância \sigma^{2}=60. Uma AAS de 40 observações foi extraída dessa população. Calcule
a) P(\bar{X}<45)
b) P(|\bar{X}-\mu|<1,5)

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória de tamanho n=40 de uma população com média \mu=50 e variância \sigma^{2}=60. Queremos calcular probabilidades envolvendo a média amostral \bar{X}. Pelo Teorema Central do Limite, para n grande, \bar{X} é aproximadamente normal com
E(\bar{X})=\mu=50, \quad \mathrm{Var}(\bar{X})=\frac{\sigma^{2}}{n}=\frac{60}{40}=1,5.

Passo 2

Calculemos o desvio-padrão de \bar{X}:
\sigma_{\bar X} =\sqrt{\mathrm{Var}(\bar{X})} =\sqrt{1,5} \approx1,2247.

Passo 3

Para a letra (a) temos
P(\bar{X}<45) =P\Bigl(Z<\frac{45-50}{\sigma_{\bar X}}\Bigr) =P\Bigl(Z<\frac{-5}{1,2247}\Bigr) =P(Z<-4,0825).
Consultando a tabela da normal padrão:
P(Z<-4,0825)\approx0,000023.

Passo 4

Para a letra (b) queremos
P\bigl(|\bar{X}-\mu|<1,5\bigr) =P\bigl(-1,5<\bar{X}-50<1,5\bigr) =P\Bigl(-\frac{1,5}{1,2247}<Z<\frac{1,5}{1,2247}\Bigr) =P\bigl(-1,2247<Z<1,2247\bigr).
Isso vale
2\,\Phi(1,2247)-1 \approx2\cdot0,8894-1 =0,7788.

Resposta

a) 0,000023
b) 0,7788

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