Suponha que uma indústria farmacêutica deseja saber a quantos voluntários se deva aplicar uma vacina, de modo que a proporção de indivíduos imunizados na amostra difira de menos de 2 \%(\epsilon=0,02) da proporção verdadeira de imunizados na população.
Considerando \gamma=90 \% e \epsilon=0,01, qual o tamanho da amostra?

Passo 1

O enunciado pergunta o tamanho da amostra necessário para estimar a proporção de indivíduos imunizados de modo que o erro máximo seja \epsilon=0{,}01 com nível de confiança \gamma=90\%. O conteúdo é estimação de proporção em amostras grandes, e vamos precisar da distribuição normal padrão para achar o valor crítico z_{\,\alpha/2}.

Passo 2

Para intervalo de confiança de nível \gamma para proporção, a margem de erro é
\epsilon = z_{\alpha/2}\,\sqrt{\frac{p\,(1-p)}{n}}.
Isolando n, obtemos
n = \frac{z_{\alpha/2}^2\,p\,(1-p)}{\epsilon^2}.

Passo 3

O nível de confiança é \gamma=90\%, logo \alpha = 1-\gamma = 0{,}10 e \alpha/2 = 0{,}05. O quantil da normal padrão é
z_{0{,}05} = 1{,}645.

Passo 4

Como não conhecemos p, usamos o caso mais conservador p(1-p)\le 0{,}25. Assim,
p\,(1-p) = 0{,}25.

Passo 5

Substituindo em
n = \frac{(1{,}645)^2 \times 0{,}25}{(0{,}01)^2}
calculamos
(1{,}645)^2 = 2{,}706025, \quad 2{,}706025 \times 0{,}25 = 0{,}67650625, \quad \frac{0{,}67650625}{0{,}0001} = 6765{,}0625.

Passo 6

Como n deve ser inteiro e sempre arredondamos para cima para garantir a margem de erro, temos
n = 6766.

Resposta

O tamanho mínimo da amostra é 6766 voluntários.

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