Considere uma amostra independente de tamanho
de uma variável
. Isto é,
são independentes e todas com distribuição Normal com média 10 e variância 16. Como se comporta
em função de
?
Passo 1
Beleza, o exercício diz o seguinte: temos
observações independentes
de uma Normal com média 10 e variância 16, ou seja
O que ele pergunta é: “como se comporta a média amostral
quando a gente muda
?”
Aqui o conteúdo é distribuição da soma (e da média) de variáveis normais e um toque de convergência quando . Vamos precisar saber duas coisas básicas:
Aqui o conteúdo é distribuição da soma (e da média) de variáveis normais e um toque de convergência quando
- Soma de normais independentes é normal;
- Propriedades de média e variância de soma e de constantes multiplicativas.
Passo 2
Primeiro, defino a média amostral:
Como cada
é
e são independentes, a soma
é uma Normal com média
e variância
Logo
Passo 3
Agora é só ver o que acontece com
.
- A média:
- A variância (lembra que ):
Como
é normal e dividimos por constante,
também é normal:
Passo 4
O que isso significa “em função de
”?
- A média da
é sempre 10, pra qualquer . - A variância é
, que fica cada vez menor conforme cresce.
Ou seja, quanto maior, mais “espremida” em volta de 10 fica a distribuição de .
No limite, a variância vai para zero e converge para 10 (lei dos grandes números).
Resposta
logo tem média 10 e variância
. À medida que
cresce, a variação de
cai e ele se concentra cada vez mais em 10.