Considere uma amostra independente de tamanho n de uma variável N(10,16). Isto é, X1, X2, ldots, Xn são independentes e todas com distribuição Normal com média 10 e variância 16. Como se comporta barX em função de n?

Passo 1

Beleza, o exercício diz o seguinte: temos Xisim N(10,16)e são independentes observações independentes bar X = 1nsumi=1^n Xi de uma Normal com média 10 e variância 16, ou seja
ã
O que ele pergunta é: “como se comporta a média amostral
quando a gente muda ?”
Aqui o conteúdo é distribuição da soma (e da média) de variáveis normais e um toque de convergência quando . Vamos precisar saber duas coisas básicas:
  1. Soma de normais independentes é normal;
  2. Propriedades de média e variância de soma e de constantes multiplicativas.

Passo 2

Primeiro, defino a média amostral:
bar X = 1nsumi=1^n Xi
Como cada Sn = sumi=1^n Xi é E[Sn] = sumi=1^n E[Xi] = ncdot 10 = 10n e são independentes, a soma
Var(Sn) = sumi=1^n Var(Xi) = ncdot 16 = 16n
é uma Normal com média
Snsim Nl(10n,,16nr)
e variância
Logo

Passo 3

Agora é só ver o que acontece com E[bar X] = 1n,E[Sn] = 10nn = 10 .
  • A média: Var(bar X) = 1n^2Var(Sn) = 16nn^2 = 16n
  • A variância (lembra que ):
Como bar X sim N!l(10,;tfrac16nr) é normal e dividimos por constante, também é normal:

Passo 4

O que isso significa “em função de ”?
  • A média da é sempre 10, pra qualquer .
  • A variância é , que fica cada vez menor conforme cresce.
    Ou seja, quanto maior , mais “espremida” em volta de 10 fica a distribuição de .
    No limite , a variância vai para zero e converge para 10 (lei dos grandes números).

Resposta

boxedbar Xsim N!l(10,tfrac16nr),
logo tem média 10 e variância . À medida que cresce, a variação de cai e ele se concentra cada vez mais em 10.

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