Considere uma amostra de
de tamanho
, dada a seguir:
0,1
0,15
0,11
0,13
0,08
O pesquisador da área propôe a distribuição a priori
0,1
a) Obtenha a distribuição a posteriori para
.
b) Qual é o modelo e parâmetros da posteriori de
? (Calcule os parâmetros com os dados).
0,1 | 0,15 | 0,11 | 0,13 | 0,08 |
a) Obtenha a distribuição a posteriori para
b) Qual é o modelo e parâmetros da posteriori de
Passo 1
A gente tem uma amostra de tamanho n=5 de X|θ∼Gama(2,θ) com observações 0,1; 0,15; 0,11; 0,13; 0,08, e prior Exp(q) tal que E(θ)=0,1. O conteúdo é atualização bayesiana usando conjugação entre Gama (likelihood) e Exponencial (prior), e vamos precisar da forma da função de verossimilhança, identificar q a partir da média da prior, e reconhecer a posterior como Gama.
Passo 2
Como o prior é θ∼Exp(q) e E(θ)=1/q=0,1, temos q=10.
Passo 3
A verossimilhança para cada Xi é f(xi|θ)=θ^2 xi e^{-θ xi}. Como são independentes,
Passo 4
block:L_
θ^{2n}
exp\bigl(-θ∑_{i=1}^n xi\bigr)
θ^{2n}
exp\bigl(-θ∑_{i=1}^n xi\bigr)
Passo 5
com n=5 e ∑xi=0,1+0,15+0,11+0,13+0,08=0,57.
Passo 6
O prior tem densidade f(θ)=q e^{-qθ}=10 e^{-10θ}. Multiplicando verossimilhança e prior, a posterior é
Passo 7
block:π(θ|x)
∝θ^{2n},exp\bigl(-θ(∑xi+q)\bigr)
∝θ^{2n},exp\bigl(-θ(∑xi+q)\bigr)
Passo 8
Isso é a forma de uma Gama com parâmetro de forma α=2n+1 e taxa β=∑xi+q.
Passo 9
Substituindo n=5 e ∑xi=0,57, q=10, a posterior é Gama(shape=11, rate=10,57).
Resposta
A posterior de θ é θ|x∼Gama(11,10,57), ou seja, distribuição Gama com forma α=11 e taxa β=10,57.