Considere uma a.a. com 6 observações, de uma v.a. X sim b(5, theta) e a distribuição a priori para theta sim Beta(alpha, beta) com E(theta)=0,2 e V(theta)=0,01. Calcular a distribuição a posteriori, indique o modelo e quais são seus parâmetros.

Passo 1

O enunciado dá uma amostra aleatória de tamanho n=6 de variáveis independentes XisimBin(5,theta) e uma priori thetasim Beta(alpha,beta) cujo valor esperado e variância satisfazem
E(theta)=alphaalpha+beta=0,2, V(theta)=alphabeta(alpha+beta)^2(alpha+beta+1)=0,01
O objetivo é obter a distribuição a posteriori de theta, usando conjugação entre a Beta e a Binomial.

Passo 2

Determinamos alpha e beta pelas equações de momento. Seja m=0,2.
Da média:
alphaalpha+beta=m Longrightarrow beta=1-mm,alpha=0,80,2,alpha=4alpha
Da variância:
alpha,beta(alpha+beta)^2(alpha+beta+1) =alpha,(4alpha)(5alpha)^2(5alpha+1) =425(5alpha+1)=0,01
4=0,01cdot 25,(5alpha+1) Longrightarrow 4=0,25(5alpha+1) Longrightarrow 5alpha+1=16 Longrightarrow alpha=3,
beta=4alpha=12.

Passo 3

A função de verossimilhança, dado o total de sucessos T=sumi=1^6 xi, é
L(theta);propto;theta^T(1-theta)^6cdot5 - T =theta^T(1-theta)^30-T

Passo 4

Multiplicando a priori Beta(3,12) pela verossimilhança, obtemos a posteriori
pi(thetamid x);propto;theta^3-1+T(1-theta)^12-1+(30-T) ;=;theta^(3+T)-1(1-theta)^(12+30-T)-1,
isto é,
thetamid x;sim;Betal(alpha^*,beta^*r) com alpha^*=3+T, beta^*=12+30-T

Resposta

A distribuição a posteriori é
thetamid xsimBetal(3+sumi=1^6 xi,;42-sumi=1^6 xir).

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