Considere uma amostra de X mid theta sim Poisson(theta) de tamanho n=12, dada a seguir:
llllllllllll1 & 0 & 0 & 0 & 2 & 4 & 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 3
O pesquisador da área propôe a distribuição a priori theta sim Gama(a, b) com E(theta)=1,2 e V(theta)=0,65
a) Obtenha a distribuição a posteriori para theta.
b) Qual é o modelo e parâmetros da posteriori de theta ? (Calcule os parâmetros com os dados).

Passo 1

O enunciado nos dá uma amostra independente de Xmid thetasim Poisson(theta) com tamanho n=12 e observações
1,0,0,0,2,4,1,1,2,0,1,3
O pesquisador usa como priori a distribuição thetasim Gama(a,b) (forma: densidade propto theta^a-1e^-btheta) com
E(theta)=ab=1,2 e V(theta)=ab^2=0,65
O conteúdo é conjugação Gama–Poisson: sabemos que a posteriori também será Gama.

Passo 2

A partir de
ab=1,2 e ab^2=0,65
temos a=1,2b. Substituindo em a/b^2=0,65
1,2bb^2=1,2b=0,65 Longrightarrow b=1,20,65approx1,84615,
e então
a=1,2bapprox1,2times1,84615approx2,21538

Passo 3

A função de verossimilhança da amostra é
L(theta);=;prodi=1^12e^-thetatheta^xixi! ;propto;e^-12theta,theta^sum xi
Multiplicando pelo prior theta^a-1e^-btheta obtemos
theta^a-1+sum xi,exp[-(b+12)theta],
que é a forma de densidade de
thetamidxi;sim;Gamal(a+sum xi,;b+12r)

Passo 4

Calculemos sum xi:
1+0+0+0+2+4+1+1+2+0+1+3=15
Logo os parâmetros da posteriori são
a' = a+15approx2,21538+15=17,21538, b' = b+12approx1,84615+12=13,84615

Resposta

thetamid xisim Gamal(17,2154,;13,8462r),
isto é, thetamiddadossimGama(a',b') com a'=17,2154 e b'=13,8462.

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