Considere uma a.a com n=26, de uma v.a. X sim P(theta), que resultou em barX=6,5. Se a distribuição a priori para theta é Gama com E(theta)=6 e V(theta)= 0,5 . Calcular a distribuição a posteriori, indique o modelo e quais são seus parâmetros.

Passo 1

Temos uma amostra aleatória de tamanho n = 26 de uma variável X que segue Poisson(θ) e observou-se a média amostral bar X = 6,5. A priori de θ é uma Gama com média E(θ)=6 e variância V(θ)=0,5. O conteúdo é conjugação entre Poisson e Gama, e precisaremos: identificar os parâmetros da priori, escrever a verossimilhança e usar a conjugação para obter a posteriori.

Passo 2

Definimos a priori como θ sim Gama(α0,β0) na parametrização por taxa (rate), onde
E(θ)=α0β0=6, V(θ)=α0β0^2=0,5
Resolvendo essas equações obtém-se
β0=12, α0=72

Passo 3

A verossimilhança da Poisson para as n observações é
L(θ)propto θ^sumi=1^n xi,e^-nθ
Como sumi=1^n xi=nbar X=26times6,5=169, temos
L(θ)propto θ^169e^-26θ

Passo 4

Multiplicando a priori pela verossimilhança, a posteriori também é Gama com parâmetros
αpost=α0+sumi=1^n xi=72+169=241,
βpost=β0+n=12+26=38
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θmid xsimGama(241,38)

Resposta

A distribuição a posteriori é Gama na parametrização por taxa com shape α=241 e rate β=38.

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