Uma loja de eletrodomésticos oferece a venda de uma TV de 98 polegadas no valor de \mathrm{R} \ 12.000,00 , com taxa de juros de5 %$ ao mês. O cliente escolhe pagar em 3 prestações mensais, sendo a primeira paga no ato da compra e as demais nos meses subsequentes. Considerando o Sistema de Amortização Constante (SAC) e a Tabela Price, ambos com pagamentos antecipados, assinale a alternativa que apresenta, aproximadamente, a diferença entre os valores totais pagos nos dois sistemas:
a) \mathrm{R} \ 8,74$
b) \mathrm{R} \ 10,29$
c) \mathrm{R} \ 12,60$
d) \mathrm{R} \ 15,43$
e) \mathrm{R} \ 20,00$

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Preço à vista (principal): \,L=\mathrm{R}\$\,12.000{,}00.
  • Taxa de juros mensal: \,i=5\% = 0,05.
  • Número de prestações: \,n=3.
  • As prestações são pagas antecipadamente: a primeira no ato da compra (tempo t=0), as outras nos meses subsequentes (tempos t=1 e t=2).
  • Devem ser comparados dois sistemas de amortização: Sistema de Amortização Constante (SAC) e Tabela Price, ambos com pagamentos antecipados, e encontrar a diferença aproximada entre os valores totais pagos nos dois sistemas.
O objetivo final: calcular o total pago em cada sistema e a diferença entre esses totais, e então escolher a alternativa correta.

Passo 2

Entendendo o SAC (explicação didática antes de calcular).
  • No SAC a amortização do principal em cada parcela é constante. Isso significa que o componente de amortização A é
A=\dfrac{L}{n}.
  • O juro de cada período é calculado sobre o saldo devedor imediatamente após a parcela anterior ter sido paga. Como os pagamentos são antecipados (no início do período), o primeiro pagamento não carrega juros (não houve tempo de incidência de juros antes do pagamento), e os juros das parcelas seguintes são calculados sobre o saldo restante após o pagamento anterior.
  • A parcela paga em cada data é a soma da amortização constante A e do juro referente ao período corrente calculado sobre o saldo devedor após o pagamento anterior:
\text{parcela} = A + \text{juros do período}.í
Agora aplicamos com números.

Passo 3

Cálculo do SAC com os números do enunciado.
  • Amortização por parcela:
A=\dfrac{12.000}{3}=4.000.
  • Parcela 1 (em t=0, pagamento antecipado): não há juros porque o pagamento é imediato, então
P_1 = A = 4.000.
Saldo devedor após P_1:
S_1 = 12.000 - 4.000 = 8.000.
  • Parcela 2 (em t=1): juros sobre S_1 por um mês:
\text{juros}_2 = S_1\cdot i = 8.000\cdot 0,05 = 400.
Portanto
P_2 = A + \text{juros}_2 = 4.000 + 400 = 4.400.
Saldo após P_2:
S_2 = 8.000 - 4.000 = 4.000.
  • Parcela 3 (em t=2): juros sobre S_2:
\text{juros}_3 = S_2\cdot i = 4.000\cdot 0,05 = 200.
Portanto
P_3 = A + \text{juros}_3 = 4.000 + 200 = 4.200.
  • Total pago no SAC:
\text{Total}_{\text{SAC}} = P_1+P_2+P_3 = 4.000+4.400+4.200 = 12.600.

Passo 4

Entendendo a Tabela Price (explicação didática antes de calcular).
  • Na Tabela Price (sistema francês) as parcelas são constantes ao longo do tempo: P_{\text{Price}} é igual em todas as prestações. Esse valor é uma anuidade que tem valor presente igual ao empréstimo L.
  • Fórmula da anuidade imediata (pagamentos no final do período): o pagamento constante é
\text{PMT}_{\text{im}} = L\cdot \dfrac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
  • Para pagamentos antecipados (anuidade devida), cada parcela ocorre um período antes; a relação entre a anuidade devida e a anuidade imediata é
\text{PMT}_{\text{due}} = \dfrac{\text{PMT}_{\text{im}}}{1+i}.
  • Alternativamente, a fórmula direta para parcela devida é
\text{PMT}_{\text{due}} = \dfrac{L}{\left(\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}\right)\cdot(1+i)}.
Vamos calcular numericamente.

Passo 5

Cálculo da parcela Price (pagamentos antecipados) com os números dados.
  • Primeiro calculemos (1+i)^3 e (1+i)^{-3}:
(1+i)^3 = 1{,}05^3 = 1{,}157625, \qquad (1+i)^{-3} = \dfrac{1}{1{,}157625}\approx 0{,}8638376.
  • Calcular a_n=\dfrac{1-(1+i)^{-n}}{i}:
a_3 = \dfrac{1-0{,}8638376}{0{,}05} \approx \dfrac{0{,}1361624}{0{,}05} \approx 2{,}7232480.
  • Parcela no regime imediato:
\text{PMT}_{\text{im}} = \dfrac{L}{a_3} \approx \dfrac{12.000}{2{,}7232480}\approx 4.406{,}5.
  • Parcela para pagamentos antecipados (devida):
\text{PMT}_{\text{due}} = \dfrac{\text{PMT}_{\text{im}}}{1+i} \approx \dfrac{4.406{,}5}{1{,}05}\approx 4.206{,}666\ldots
(ou diretamente \text{PMT}_{\text{due}} \approx \dfrac{12.000}{2{,}8594104}\approx 4.206{,}666\ldots).
  • Total pago na Tabela Price (3 parcelas iguais):
\text{Total}_{\text{Price}} = 3\cdot 4.206{,}666\ldots \approx 12.620.

Passo 6

Comparação dos totais e escolha da alternativa.
  • Temos
\text{Total}_{\text{SAC}} = 12.600,\qquad \text{Total}_{\text{Price}} \approx 12.620.
  • Diferença (Price menos SAC):
\Delta = 12.620 - 12.600 = 20{,}00.
A alternativa que corresponde a essa diferença é a letra (e).

Resposta

\mathrm{R}\$\,20{,}00

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