Considere as amostras:
\begin{aligned} & X=\{2,4,6,8,10,12,14,16\} \\\ & Y=\{1,3,5,7,9,11,13,15\} \end{aligned}
calcule os seguintes somatórios e produtórios:
a. \sum_{i=1}^{8} \sum_{j=2}^{5}\left(x_{i}-3\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o somatório duplo
\sum_{i=1}^{8}\sum_{j=2}^{5}(x_{i}-3)
onde X=\{2,4,6,8,10,12,14,16\}. O conteúdo principal é usar a propriedade de somatório para separar índices quando o termo não depende de um deles.

Passo 2

Repare que o termo (x_{i}-3) não depende de j. Logo, a soma interna é simplesmente esse termo repetido para cada valor de j de 2 a 5, ou seja, 4 vezes:
\sum_{j=2}^{5}(x_{i}-3) = 4\,(x_{i}-3).

Passo 3

Substituindo na soma externa, temos
\sum_{i=1}^{8}\sum_{j=2}^{5}(x_{i}-3) = \sum_{i=1}^{8}4\,(x_{i}-3) = 4\sum_{i=1}^{8}(x_{i}-3).
Para prosseguir, usamos
\sum_{i=1}^{8}(x_{i}-3) = \sum_{i=1}^{8}x_{i} \;-\; \sum_{i=1}^{8}3 = \sum_{i=1}^{8}x_{i} \;-\; 8\cdot 3.

Passo 4

A soma dos elementos de X é uma progressão aritmética de 8 termos com primeiro termo 2 e último termo 16, cujo valor é
\sum_{i=1}^{8}x_{i} = \frac{8\,(2+16)}{2} = 72.
Logo,
\sum_{i=1}^{8}(x_{i}-3) = 72 - 24 = 48,
e por fim
4\sum_{i=1}^{8}(x_{i}-3) = 4 \times 48 = 192.

Resposta

\displaystyle 192

Exercícios relacionados