Considere as amostras:
\begin{aligned} & X=\{2,4,6,8,10,12,14,16\} \\\ & Y=\{1,3,5,7,9,11,13,15\} \end{aligned}
calcule os seguintes somatórios e produtórios:
b. \sum_{i=1}^{8}\left(\frac{x_{i}}{2}-y_{i}\right)^{2}

Passo 1

O enunciado dá duas amostras
X = \{2,4,6,8,10,12,14,16\},\quad Y = \{1,3,5,7,9,11,13,15\}
e pede o valor de
\sum_{i=1}^{8}\Bigl(\frac{x_{i}}{2}-y_{i}\Bigr)^{2}.
O conteúdo aqui é manipular índices e reconhecer um somatório de quadrados.

Passo 2

Observe que para cada i\in\{1,\dots,8\} vale
x_{i}=2i,\quad y_{i}=2i-1,
logo
\frac{x_{i}}{2}-y_{i}=i-(2i-1)=1-i=-(i-1).
Então o termo ao quadrado fica
\Bigl(\frac{x_{i}}{2}-y_{i}\Bigr)^{2}=(i-1)^{2}.

Passo 3

O somatório transforma-se em
\sum_{i=1}^{8}(i-1)^{2} =\sum_{k=0}^{7}k^{2},
onde fizemos a mudança de variável k=i-1.

Passo 4

Usamos a fórmula conhecida
\sum_{k=1}^{n}k^{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.
Como \sum_{k=0}^{7}k^{2}=\sum_{k=1}^{7}k^{2}, basta tomar n=7:
\sum_{k=0}^{7}k^{2} =\frac{7\cdot8\cdot15}{6} =\frac{840}{6} =140.

Resposta

140

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