Considere a amplitude máxima de pressão \Delta \mathrm{p}_{\max } da ordem de 28,0 \mathrm{~Pa}, a massa específica do ar \rho=1,21 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}; a frequência de 1000 Hz ; e a velocidade do som no ar de \mathrm{V}_{\text {som }}=340 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Calcule o deslocamento máximo \mathrm{S}_{\text {max }} correspondente.
(R: 11,0 \mu \mathrm{~m} ).

Passo 1

O enunciado pede o deslocamento máximo correspondente a uma onda sonora, dadas as seguintes informações:
\Delta p_{\max}=28,0\\ \mathrm{Pa} (amplitude máxima de pressão),
\rho=1,21\\ \mathrm{kg/m^{3}} (massa específica do ar),
f=1000\\ \mathrm{Hz} (frequência),
V_{\text{som}}=340\\ \mathrm{m/s} (velocidade do som).
A pergunta é: calcular S_{\max} (deslocamento máximo).

Passo 2

Conceito e relação básica: para uma onda sonora plana harmônica, a amplitude da variação de pressão está relacionada à amplitude da velocidade das partículas do meio por
\Delta p_{\max}=\rho\,V_{\text{som}}\,v_{\max}.
Aqui \Delta p_{\max} é a amplitude de pressão, \rho é a densidade do meio, V_{\text{som}} é a velocidade do som e v_{\max} é a amplitude da velocidade das partículas (velocidade máxima das partículas do ar).

Passo 3

Relação entre velocidade máxima das partículas e deslocamento máximo: para um movimento harmônico simples,
v_{\max}=\omega\,S_{\max},
onde \omega é a pulsação angular (frequência angular) e S_{\max} é a amplitude do deslocamento (o que queremos). A pulsação angular é dada por
\omega=2\pi f.

Passo 4

Combinar as duas relações para isolar S_{\max}. Substituindo v_{\max}=\omega S_{\max} em \Delta p_{\max}=\rho V_{\text{som}} v_{\max} obtemos
\Delta p_{\max}=\rho\,V_{\text{som}}\,\omega\,S_{\max}.
Logo,
S_{\max}=\frac{\Delta p_{\max}}{\rho\,V_{\text{som}}\,\omega}.
Explicando cada termo:
  • \Delta p_{\max}: amplitude de pressão (Pa);
  • \rho: massa específica (kg/m³);
  • V_{\text{som}}: velocidade do som (m/s);
  • \omega: 2\pi f (rad/s);
  • S_{\max}: deslocamento máximo (m).

Passo 5

Calcular \omega:
\omega=2\pi f=2\pi\cdot1000\approx6283,185\\ \mathrm{rad/s}.

Passo 6

Calcular o produto \rho\,V_{\text{som}}\,\omega:
Primeiro \rho\,V_{\text{som}}=1,21\cdot340=411,4.
Agora
\rho\,V_{\text{som}}\,\omega=411,4\cdot6283,185\approx2\,584\,902{,}4.
As unidades desse produto são \mathrm{kg/(m^{2}s^{2})}, compatíveis para dividir \Delta p_{\max} (Pa = \mathrm{kg/(m\\ s^{2})}) e obter metros.

Passo 7

Calcular S_{\max} numericamente:
S_{\max}=\frac{28,0}{2\,584\,902{,}4}\\ \mathrm{m}\approx1{,}0832\cdot10^{-5}\\ \mathrm{m}.
Converter para micrômetros ( 1\\ \mu\mathrm{m}=10^{-6}\\ \mathrm{m}):
S_{\max}\approx10{,}832\\ \mu\mathrm{m}\approx11{,}0\\ \mu\mathrm{m}
(ajustando para duas casas significativas, compatível com os dados).

Resposta

\,11{,}0\\ \mu\mathrm{m}

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