Considere os anagramas da palavra COMPUTADOR.
Quantos anagramas começam com a letra C e terminam com a letra R ?

Passo 1

O enunciado pede: “Quantos anagramas da palavra COMPUTADOR começam com a letra C e terminam com a letra R?”
Informações dadas (extraídas da palavra):
  • A palavra tem 10 letras no total.
  • As letras são: C, O, M, P, U, T, A, D, O, R.
  • A única letra repetida é O, que aparece 2 vezes. Todas as outras letras aparecem uma vez.

Passo 2

Idéia geral e fórmula que vamos usar (explicada passo a passo). Quando temos um conjunto de n objetos e queremos contar todas as permutações distintas, mas há repetições (por exemplo, n_1 objetos de um tipo, n_2 de outro, etc.), a fórmula é:
\text{nº de permutações distintas}=\dfrac{n!}{n_1!\,n_2!\,\cdots}ºçõ
Explicação dessa fórmula (em linguagem simples): se todas as letras fossem distintas, haveria n! permutações. Quando há repetições, permutações que só trocam entre si objetos idênticos não são distintas; dividir por n_i! elimina essas contagens duplicadas.
Exemplo pequeno para fixar a ideia: a palavra “ANA” tem 3 letras com A repetida 2 vezes. Pelo raciocínio:
\text{permutações distintas de "ANA"}=\dfrac{3!}{2!}= \dfrac{6}{2}=3,çõ
que são “ANA”, “AAN”, “NAA” — dá para ver enumerando.

Passo 3

Aplicando ao nosso problema: como as permutações devem começar com C e terminar com R, fixamos essas duas posições. Assim:
  • O total de letras restantes para permutar é 8 (as 10 originais menos as duas fixadas).
  • As letras restantes são O, O, M, P, U, T, A, D. Ou seja, 8 letras com a repetição de O ocorrendo 2 vezes.
Pelo princípio das permutações com repetições, o número de maneiras de preencher as 8 posições do meio é
\dfrac{8!}{2!}.

Passo 4

Calculemos o valor numérico passo a passo:
8! = 8\cdot7\cdot6\cdot5\cdot4\cdot3\cdot2\cdot1 = 40320,
2! = 2,
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\dfrac{8!}{2!}=\dfrac{40320}{2}=20160.

Resposta

20160

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