Considere um anel A1 de raio R no plano X Y, centrado na origem.
O ângulo \varphi é medido a partir do eixo \hat{x}. A densidade linear de carga do anel é dada por:
\lambda(\varphi)=\lambda_{0} \operatorname{sen} \varphi
Considere um ponto P:(0,0, z).
(a) Sem fazer nenhuma conta, usando apenas argumentos sobre a distribuição de carga no anel, indique a direção (e o sentido) do campo eletrostático gerado por A1 no ponto P.
(b) Calcule o campo eletrostático em P devido ao anel A1.
(c) Calcule o potencial eletrostático \mathrm{V}(0,0, z) no ponto P a partir da expressão de integral de linha
V(z)-V\left(z_{r e f}\right)=-\int_{z_{r e f}}^{z} \vec{E}\left(\vec{r}^{\prime}\right) \cdot d \vec{r}^{\prime}
Indique explicitamente onde você escolheu a referência z=z_{\text {ref }} tal que V\left(z_{\text {ref }}\right)=0 e qual caminho você adotou para calcular a integral (por exemplo, ao longo do eixo Z ).
(d) Calcule novamente o potencial V(z) em P a partir da expressão
d V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{d q}{s}, \quad s=\sqrt{R^{2}+z^{2}},
onde s é a distância do elemento de carga d q ao ponto P , e compare com sua resposta do item (c).
(e) Conhecendo apenas a o potencial eletrostático V(0,0, z) no ponto P devido ao anel A1, é possível encontrar o campo eletrostático \vec{E}(0,0, z) no ponto P a partir da expressão \vec{E}=-\nabla V ? Explique claramente o que é e o que não é possível concluir neste caso.
Agora, considere outro anel A2, uniformemente carregado, de mesmo raio R e carga total Q>0, cujo potencial eletrostático para um ponto P : ( 0,0, z ) é:
V(z)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}
(f) Sem fazer nenhuma conta, usando apenas argumentos sobre a distribuição de carga no anel A2, indique a direção (e o sentido) do campo eletrostático gerado por A2 no ponto P.
(g) Obtenha o campo eletrostático \vec{E}(0,0, z) a partir de V(0,0, z) via \vec{E}=-\nabla V. Você precisou fazer alguma hipótese sobre \vec{E}(0,0, z) neste caso? Justifique essas hipóteses e compare, conceitualmente, com sua resposta do item (e).
(h) Calcule o trabalho W_{1} realizado pelo campo eletrostático para trazer uma partícula de carga q, inicialmente no infinito, até o centro do anel A1. Calcule o trabalho W_{2} realizado pelo campo eletrostático para trazer uma partícula de carga q, inicialmente no infinito, até o centro do anel A2. Compare W_{1} e W_{2}.

Passo 1

Temos um anel A1 de raio R no plano XY, centrado na origem, com densidade linear \lambda(\varphi)=\lambda_{0}\sin\varphi. O ponto de interesse é P:(0,0,z) sobre o eixo Z. O que se pede:
(a) direção e sentido de \vec E em P sem cálculo explícito;
(b) cálculo de \vec E(0,0,z) por integração;
(c) potencial V(0,0,z) obtido por V(z)-V(z_{\rm ref})=-\int \vec E\cdot d\vec r;
(d) o mesmo V por dV=(4\pi\varepsilon_0)^{-1}dq/s;
(e) discutir se de V(0,0,z) basta \vec E=-\nabla V;
Depois, para um anel A2 de carga total Q e densidade uniforme, cujo
V(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{\sqrt{R^2+z^2}},
fazem-se
(f) direção e sentido de \vec E em P por argumento de simetria;
(g) calcular \vec E via -\nabla V, justificando hipóteses;
(h) trabalho W_1 e W_2 para trazer carga q do infinito ao centro de A1 e de A2.

Passo 2

(a) Como \lambda(\varphi)\propto\sin\varphi, há mais carga positiva no semieixo y>0 e negativa em y<0; em x há simetria par. Logo o campo em P só tem componente em y, apontando do excesso de carga positiva para o negativo, isto é, no sentido negativo de \hat y.

Passo 3

(b) Elemento de carga dq=\lambda_0\sin\varphi\,R\,d\varphi. A contribuição de campo em P é
d\vec E=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{dq}{(R^2+z^2)}\frac{(-R\cos\varphi,-R\sin\varphi,z)}{\sqrt{R^2+z^2}}.
Integramos \varphi de 0 a 2\pi:
E_x\propto\int\sin\varphi\cos\varphi\,d\varphi=0.
E_z\propto\int\sin\varphi\,d\varphi=0.
E_y=-\frac{\lambda_0R^2}{4\varepsilon_0(R^2+z^2)^{3/2}}\int_0^{2\pi}\sin^2\varphi\,d\varphi =-\frac{\lambda_0R^2}{4\varepsilon_0(R^2+z^2)^{3/2}}\pi.
Portanto
\vec E(0,0,z)=-\hat y\,\frac{\lambda_0\pi R^2}{4\varepsilon_0\,(R^2+z^2)^{3/2}}.

Passo 4

(c) Escolho z_{\rm ref}=\infty com V(\infty)=0 e caminho ao longo do eixo Z, d\vec r=dz'\,\hat z. Como \vec E\perp\hat z, tem-se
V(z)-0=-\int_{\infty}^{z}\vec E\cdot d\vec r=0 \quad\Rightarrow\quad V(0,0,z)=0\\ \forall\,z.

Passo 5

(d) Pela definição direta,
V(z)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int\frac{dq}{s} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{\lambda_0R}{\sqrt{R^2+z^2}}\int_0^{2\pi}\sin\varphi\,d\varphi =0,
confirmando o item (c).

Passo 6

(e) Do conhecimento apenas de V(0,0,z), que é constante, pode-se obter E_z=-\partial V/\partial z=0, mas não se obtém E_y nem E_x. Em outras palavras, \vec E=-\nabla V requer variação de V nas direções correspondentes; como só sabemos V ao longo do eixo Z, não podemos recuperar a componente em y.

Passo 7

(f) No anel uniforme A2 há simetria circular completa, logo em P só surge componente ao longo de \hat z. Para Q>0 e z>0, o campo empurra cargas positivas para cima, ou seja, na direção positiva de \hat z.
(g) Admitimos \vec E=E_z(z)\,\hat z por simetria. Então
E_z=-\frac{dV}{dz} =-\frac{d}{dz}\Bigl[\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q}{\sqrt{R^2+z^2}}\Bigr] =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q\,z}{(R^2+z^2)^{3/2}},
o que coincide com o resultado via integração direta.

Passo 8

(h) Trabalho realizado pelo campo ao trazer q do infinito ao centro:
– Em A1, V(0)=0, logo W_1=q[V(\infty)-V(0)]=0.
– Em A2, V(0)=\tfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\tfrac{Q}{R}, logo
W_2=q\bigl[V(\infty)-V(0)\bigr] =-\frac{q\,Q}{4\pi\varepsilon_0\,R}.
Comparando: W_1=0 e W_2<0.

Resposta

(a) Direção negativa do eixo y.
(b) \displaystyle\vec E(0,0,z)=-\hat y\,\frac{\lambda_0\pi R^2}{4\varepsilon_0\,(R^2+z^2)^{3/2}}.
(c) \displaystyle V(0,0,z)=0, com referência V(\infty)=0 e caminho ao longo de Z.
(d) \displaystyle V(0,0,z)=0, coincide com (c).
(e) De V(0,0,z) só se obtém E_z; não é possível encontrar E_y.
(f) Direção positiva do eixo z.
(g) \displaystyle E_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q\,z}{(R^2+z^2)^{3/2}}, assumindo \vec E\parallel\hat z.
(h) \displaystyle W_1=0,\quad W_2=-\frac{q\,Q}{4\pi\varepsilon_0\,R},\;W_1>W_2.

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