Considere um anel A1 de raio
no plano
, centrado na origem.
O ângulo
é medido a partir do eixo
. A densidade linear de carga do anel é dada por:
Considere um ponto
.
(a) Sem fazer nenhuma conta, usando apenas argumentos sobre a distribuição de carga no anel, indique a direção (e o sentido) do campo eletrostático gerado por A1 no ponto
.
(b) Calcule o campo eletrostático em
devido ao anel A1.
(c) Calcule o potencial eletrostático
no ponto P a partir da expressão de integral de linha
Indique explicitamente onde você escolheu a referência
tal que
e qual caminho você adotou para calcular a integral (por exemplo, ao longo do eixo
).
(d) Calcule novamente o potencial
em
a partir da expressão
onde
é a distância do elemento de carga
ao ponto P , e compare com sua resposta do item (c).
(e) Conhecendo apenas a o potencial eletrostático
no ponto P devido ao anel A1, é possível encontrar o campo eletrostático
no ponto P a partir da expressão
? Explique claramente o que é e o que não é possível concluir neste caso.
Agora, considere outro anel A2, uniformemente carregado, de mesmo raio
e carga total
, cujo potencial eletrostático para um ponto P : (
) é:
(f) Sem fazer nenhuma conta, usando apenas argumentos sobre a distribuição de carga no anel A2, indique a direção (e o sentido) do campo eletrostático gerado por A2 no ponto P.
(g) Obtenha o campo eletrostático
a partir de
via
. Você precisou fazer alguma hipótese sobre
neste caso? Justifique essas hipóteses e compare, conceitualmente, com sua resposta do item (e).
(h) Calcule o trabalho
realizado pelo campo eletrostático para trazer uma partícula de carga
, inicialmente no infinito, até o centro do anel A1. Calcule o trabalho
realizado pelo campo eletrostático para trazer uma partícula de carga
, inicialmente no infinito, até o centro do anel A2. Compare
e
.
O ângulo
(a) Sem fazer nenhuma conta, usando apenas argumentos sobre a distribuição de carga no anel, indique a direção (e o sentido) do campo eletrostático gerado por A1 no ponto
(b) Calcule o campo eletrostático em
(c) Calcule o potencial eletrostático
(d) Calcule novamente o potencial
(e) Conhecendo apenas a o potencial eletrostático
(g) Obtenha o campo eletrostático
(h) Calcule o trabalho
Passo 1
Temos um anel A1 de raio
no plano
, centrado na origem, com densidade linear
. O ponto de interesse é
sobre o eixo
. O que se pede:
(a) direção e sentido de em
sem cálculo explícito;
(b) cálculo de por integração;
(c) potencial obtido por
;
(d) o mesmo por
;
(e) discutir se de basta
;
Depois, para um anel A2 de carga total e densidade uniforme, cujo
(a) direção e sentido de
(b) cálculo de
(c) potencial
(d) o mesmo
(e) discutir se de
Depois, para um anel A2 de carga total
fazem-se
(f) direção e sentido de em
por argumento de simetria;
(g) calcular via
, justificando hipóteses;
(h) trabalho e
para trazer carga
do infinito ao centro de A1 e de A2.
(f) direção e sentido de
(g) calcular
(h) trabalho
Passo 2
(a) Como
, há mais carga positiva no semieixo
e negativa em
; em
há simetria par. Logo o campo em
só tem componente em
, apontando do excesso de carga positiva para o negativo, isto é, no sentido negativo de
.
Passo 3
(b) Elemento de carga
. A contribuição de campo em
é
Integramos
de
a
:
– .
– .
–
Portanto
–
–
–
Portanto
Passo 4
(c) Escolho
com
e caminho ao longo do eixo
,
. Como
, tem-se
Passo 5
(d) Pela definição direta,
confirmando o item (c).
Passo 6
(e) Do conhecimento apenas de
, que é constante, pode-se obter
, mas não se obtém
nem
. Em outras palavras,
requer variação de
nas direções correspondentes; como só sabemos
ao longo do eixo
, não podemos recuperar a componente em
.
Passo 7
(f) No anel uniforme A2 há simetria circular completa, logo em
só surge componente ao longo de
. Para
e
, o campo empurra cargas positivas para cima, ou seja, na direção positiva de
.
(g) Admitimos por simetria. Então
(g) Admitimos
o que coincide com o resultado via integração direta.
Passo 8
(h) Trabalho realizado pelo campo ao trazer
do infinito ao centro:
– Em A1, , logo
.
– Em A2, , logo
– Em A1,
– Em A2,
Comparando:
e
.
Resposta
(a)
Direção negativa do eixo
.
(b) .
(c) , com referência
e caminho ao longo de
.
(d) , coincide com (c).
(e) De só se obtém
; não é possível encontrar
.
(f) Direção positiva do eixo
.
(g) , assumindo
.
(h)
(b)
(c)
(d)
(e) De
(f)
(g)
(h)