Seja um capacitor de placas paralelas condutoras com duas placas perpendiculares à direção z. Uma das placas está localizada em
, tem um potencial elétrico
, enquanto a outra placa localizada em
, tem um potencial elétrico
, onde
é um constante. No espaço entre as placas, existe um dielétrico com permissividade elétrica
, a densidade de carga livre é dada por:
, onde
e
são constantes. Despreze os efeitos de borda. (a) Mostre que o potencial entre as placas é da forma:
, onde
e
são constantes. (b) Determine as constantes A e B a partir das condições de contorno. (c) Determine o vetor campo elétrico entre as placas.
Passo 1
O enunciado descreve um capacitor de placas paralelas em
com dielétrico de permissividade
e densidade de carga livre
Como não há variação em
, usamos a equação de Poisson unidimensional
Queremos encontrar (a) a forma geral de
, (b) as constantes de integração pelas condições
e
, e (c) o campo
.
Passo 2
Integramos a equação de Poisson duas vezes em
.
Primeira integração:
Primeira integração:
onde
é constante de integração.
Segunda integração:
Segunda integração:
com
outra constante de integração. Assim mostramos a forma
Passo 3
Aplicamos as condições de contorno:
Para ,
dá
Para
Para
,
dá
Passo 4
O campo elétrico é
com
e
determinados acima.
Resposta
(a)
(b)
(c)