Seja um capacitor de placas paralelas condutoras com duas placas perpendiculares à direção z. Uma das placas está localizada em \mathrm{z}=0, tem um potencial elétrico \mathrm{V}=0, enquanto a outra placa localizada em \mathrm{z}=\mathrm{d}, tem um potencial elétrico V=V_{0}, onde V_{0} é um constante. No espaço entre as placas, existe um dielétrico com permissividade elétrica \epsilon, a densidade de carga livre é dada por: \rho_{\mathrm{F}}(\mathrm{z})=\rho_{0} \mathrm{e}^{-\alpha \mathrm{z}}, onde \rho_{0} e \alpha são constantes. Despreze os efeitos de borda. (a) Mostre que o potencial entre as placas é da forma: V(z)=A+B z-\rho_{0} e^{-\alpha z} / \epsilon \alpha^{2}, onde \rho_{0} e \alpha são constantes. (b) Determine as constantes A e B a partir das condições de contorno. (c) Determine o vetor campo elétrico entre as placas.

Passo 1

O enunciado descreve um capacitor de placas paralelas em 0\le z\le d com dielétrico de permissividade \epsilon e densidade de carga livre
\rho_F(z)=\rho_0 e^{-\alpha z}\,.
Como não há variação em x,y, usamos a equação de Poisson unidimensional
\frac{d^2V}{dz^2}=-\frac{\rho_F(z)}{\epsilon} =-\frac{\rho_0}{\epsilon}e^{-\alpha z}\,.
Queremos encontrar (a) a forma geral de V(z), (b) as constantes de integração pelas condições V(0)=0 e V(d)=V_0, e (c) o campo \vec E(z)=-\nabla V.

Passo 2

Integramos a equação de Poisson duas vezes em z.
Primeira integração:
\frac{dV}{dz} =\int -\frac{\rho_0}{\epsilon}e^{-\alpha z}\,dz =B+\frac{\rho_0}{\epsilon\alpha}e^{-\alpha z}\,,
onde B é constante de integração.
Segunda integração:
V(z) =\int\Bigl(B+\frac{\rho_0}{\epsilon\alpha}e^{-\alpha z}\Bigr)\,dz =A+Bz-\frac{\rho_0}{\epsilon\alpha^2}e^{-\alpha z}\,,
com A outra constante de integração. Assim mostramos a forma
V(z)=A+Bz-\frac{\rho_0}{\epsilon\alpha^2}e^{-\alpha z}\,.

Passo 3

Aplicamos as condições de contorno:
Para z=0, V(0)=0
0=A-\frac{\rho_0}{\epsilon\alpha^2} \quad\Longrightarrow\quad A=\frac{\rho_0}{\epsilon\alpha^2}\,.
Para z=d, V(d)=V_0
V_0 =A+Bd-\frac{\rho_0}{\epsilon\alpha^2}e^{-\alpha d} \;\Longrightarrow\; B=\frac{V_0-\displaystyle A+\frac{\rho_0}{\epsilon\alpha^2}e^{-\alpha d}}{d} =\frac{V_0-\frac{\rho_0}{\epsilon\alpha^2}\bigl(1-e^{-\alpha d}\bigr)}{d}\,.

Passo 4

O campo elétrico é
\vec E(z)=-\frac{dV}{dz}\,\hat{z} =-\Bigl(B+\frac{\rho_0}{\epsilon\alpha}e^{-\alpha z}\Bigr)\hat{z}\,,
com A e B determinados acima.

Resposta

(a) V(z)=A+Bz-\frac{\rho_0}{\epsilon\alpha^2}e^{-\alpha z}.
(b) A=\frac{\rho_0}{\epsilon\alpha^2}, \quad B=\frac{V_0-\frac{\rho_0}{\epsilon\alpha^2}\bigl(1-e^{-\alpha d}\bigr)}{d}.
(c) \vec E(z)=-\Bigl(B+\frac{\rho_0}{\epsilon\alpha}e^{-\alpha z}\Bigr)\hat{z}.

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