1. (Valor: 1.5 pontos) Seja f: \mathbb{C}-\{0\} \rightarrow \mathbb{C} a função complexa definida por
f(z)=\frac{z}{|z|} \Re z+1
Prove que o \lim _{z \rightarrow 0} f(z)=1.

Passo 1

O enunciado define a função
f\colon \mathbb{C}\setminus\{0\}\to\mathbb{C}, \quad f(z)=\frac{z}{|z|}\,\Re z \;+\;1
e pede para provar que \displaystyle\lim_{z\to0}f(z)=1.
O conteúdo aqui é o conceito de limite de função complexa, usando a condição de ε–δ.

Passo 2

Primeiro escrevemos a diferença entre f(z) e o valor candidato ao limite:
f(z)-1 =\frac{z}{|z|}\,\Re z.
Como \bigl|\tfrac{z}{|z|}\bigr|=1 para z\neq0, temos
|f(z)-1| =\Bigl|\frac{z}{|z|}\Bigr|\;|\Re z| =|\Re z|.

Passo 3

Usamos a desigualdade padrão em \mathbb{C}:
|\Re z|\le |z|.
Logo
|f(z)-1|\le |z|.

Passo 4

Dado \varepsilon>0, escolha \delta=\varepsilon. Se 0<|z-0|=|z|<\delta, então
|f(z)-1|\le |z|<\delta=\varepsilon.
Isso satisfaz a definição de limite, portanto
\lim_{z\to0}f(z)=1.

Resposta

\displaystyle\lim_{z\to0}f(z)=1.

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