Considere um anel A1 de raio
R no plano
X Y , centrado na origem.
O ângulo
\varphi é medido a partir do eixo
\hat{x} . A densidade linear de carga do anel é dada por:
\lambda(\varphi)=\lambda_{0} \operatorname{sen} \varphi
Considere um ponto
P:(0,0, z) .
(a) Sem fazer nenhuma conta, usando apenas argumentos sobre a distribuição de carga no anel, indique a direção (e o sentido) do campo eletrostático gerado por A1 no ponto
P .
(b) Calcule o campo eletrostático em
P devido ao anel A1.
(c) Calcule o potencial eletrostático
\mathrm{V}(0,0, z) no ponto P a partir da expressão de integral de linha
V(z)-V\left(z_{r e f}\right)=-\int_{z_{r e f}}^{z} \vec{E}\left(\vec{r}^{\prime}\right) \cdot d \vec{r}^{\prime}
Indique explicitamente onde você escolheu a referência
z=z_{\text {ref }} tal que
V\left(z_{\text {ref }}\right)=0 e qual caminho você adotou para calcular a integral (por exemplo, ao longo do eixo
Z ).
(d) Calcule novamente o potencial
V(z) em
P a partir da expressão
d V=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{d q}{s}, \quad s=\sqrt{R^{2}+z^{2}},
onde
s é a distância do elemento de carga
d q ao ponto P , e compare com sua resposta do item (c).
(e) Conhecendo apenas a o potencial eletrostático
V(0,0, z) no ponto P devido ao anel A1, é possível encontrar o campo eletrostático
\vec{E}(0,0, z) no ponto P a partir da expressão
\vec{E}=-\nabla V ? Explique claramente o que é e o que não é possível concluir neste caso.
Agora, considere outro anel A2, uniformemente carregado, de mesmo raio
R e carga total
Q>0 , cujo potencial eletrostático para um ponto P : (
0,0, z ) é:
V(z)=\frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{Q}{\sqrt{R^{2}+z^{2}}}
(f) Sem fazer nenhuma conta, usando apenas argumentos sobre a distribuição de carga no anel A2, indique a direção (e o sentido) do campo eletrostático gerado por A2 no ponto P.
(g) Obtenha o campo eletrostático
\vec{E}(0,0, z) a partir de
V(0,0, z) via
\vec{E}=-\nabla V . Você precisou fazer alguma hipótese sobre
\vec{E}(0,0, z) neste caso? Justifique essas hipóteses e compare, conceitualmente, com sua resposta do item (e).
(h) Calcule o trabalho
W_{1} realizado pelo campo eletrostático para trazer uma partícula de carga
q , inicialmente no infinito, até o centro do anel A1. Calcule o trabalho
W_{2} realizado pelo campo eletrostático para trazer uma partícula de carga
q , inicialmente no infinito, até o centro do anel A2. Compare
W_{1} e
W_{2} .