1. (Valor: 2.0 pontos) Calcule o que se pede:
    Coloque o resultado na forma reduzida a+i b do número complexo: \frac{(3-2 i)^{2}}{|3-2 i|}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\frac{(3-2i)^2}{\lvert 3-2i\rvert}
e expressar o resultado na forma reduzida a+ib. Vamos usar que, para um complexo z=a+bi, vale \lvert z\rvert=\sqrt{a^2+b^2}
e que a divisão de um complexo por um real é feita dividindo-se parte real e parte imaginária por esse real.

Passo 2

Primeiro, desenvolvemos o quadrado
(3-2i)^2 = 3^2 - 2\cdot3\cdot2i + (2i)^2 = 9 - 12i + 4\,i^2.
Como i^2=-1, temos
4\,i^2 = 4\cdot(-1) = -4,
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(3-2i)^2 = 9 - 12i - 4 = 5 - 12i.

Passo 3

Agora calculamos o módulo de 3-2i:
\lvert 3-2i\rvert = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}.

Passo 4

Dividindo o complexo 5-12i pelo real \sqrt{13}, obtemos
\frac{5-12i}{\sqrt{13}} = \frac{5}{\sqrt{13}} \;-\;\frac{12}{\sqrt{13}}\,i.
Para remover o radical do denominador, multiplicamos numerador e denominador por \sqrt{13}:
\frac{5}{\sqrt{13}} = \frac{5\sqrt{13}}{13}, \quad \frac{12}{\sqrt{13}} = \frac{12\sqrt{13}}{13}.
Assim, a forma a+ib fica
\frac{5\sqrt{13}}{13} \;-\; \frac{12\sqrt{13}}{13}\,i.

Resposta

\displaystyle \frac{5\sqrt{13}}{13} \;-\; \frac{12\sqrt{13}}{13}\,i

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