Considere um anel isolante uniformemente carregado com densidade linear de cargas lambda=-4,00 mu C / m e raio R=1,80 mm. Determine (a) a carga total do anel e (b) 0 valor do campo elétrico num ponto situado sobre o eixo a uma distância de z=R / 2, medida a partir do centro do anel.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um anel isolante que está carregado de forma uniforme. A gente tem duas informações principais:
  • A densidade linear de carga, que é a quantidade de carga por metro, dada por lambda = -4,00 , muC/m.
  • O raio do anel, que é R = 1,80 , mm.
Vamos precisar usar conceitos de carga total em um objeto carregado e o campo elétrico gerado por esse anel em um ponto específico no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a carga total do anel. A carga total ( Q) pode ser encontrada multiplicando a densidade linear de carga ( lambda) pelo comprimento total do anel. Como o anel é circular, o comprimento é a circunferência do círculo.
A fórmula fica:
Q = lambda times 2pi R

Passo 3

Vamos substituir os valores na fórmula. Mas antes, precisamos converter o raio R de milímetros para metros para manter as unidades consistentes.
R = 1,80 , mm = 1,80 times 10^-3 , m
Agora, a circunferência:
2pi R = 2 times pi times 1,80 times 10^-3 , m

Passo 4

Calculando a circunferência:
2pi R approx 2 times 3,1416 times 1,80 times 10^-3 , m approx 1,131 times 10^-2 , m

Passo 5

Agora, calculamos a carga total:
Q = lambda times 2pi R = -4,00 times 10^-6 , C/m times 1,131 times 10^-2 , m approx -4,524 times 10^-8 , C

Passo 6

Pronto, temos a carga total do anel. Agora, vamos para a parte (b), que é calcular o campo elétrico em um ponto sobre o eixo a uma distância z = R/2 do centro do anel.
A fórmula para o campo elétrico ( E) no eixo de um anel carregado é:
E = 14pivarepsilon0 times zQ(z^2 + R^2)^3/2
Onde:
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo, aproximadamente 8,85 times 10^-12 , C^2/N cdot m^2.
  • z é a distância do ponto ao centro do anel.
  • Q é a carga total do anel.
  • R é o raio do anel.

Passo 7

Vamos substituir z = R/2 na fórmula:
E = 14pivarepsilon0 times (R/2)Q((R/2)^2 + R^2)^3/2
Simplificando o denominador:
(R/2)^2 + R^2 = R^24 + R^2 = 5R^24
Então:
E = 14pivarepsilon0 times (R/2)Q(5R^24)^3/2 = 14pivarepsilon0 times (R/2)Q(raiz5R^38)

Passo 8

Simplificando ainda mais:
E = 14pivarepsilon0 times 8(R/2)Qraiz5R^3 = 14pivarepsilon0 times 4Qraiz5R^2
Agora substituímos os valores:
  • Q = -4,524 times 10^-8 , C
  • R = 1,80 times 10^-3 , m
  • varepsilon0 = 8,85 times 10^-12 , C^2/N cdot m^2

Passo 9

Calculando:
E = 14pi times 8,85 times 10^-12 times 4 times (-4,524 times 10^-8)raiz5 times (1,80 times 10^-3)^2
Primeiro, calculamos o denominador:
raiz5 approx 2,236
(1,80 times 10^-3)^2 = 3,24 times 10^-6 , m^2
Então:
E = 8,988 times 10^9 , N cdot m^2/C^2 times 4 times (-4,524 times 10^-8)2,236 times 3,24 times 10^-6

Passo 10

Continuando os cálculos:
Numerador: 4 times (-4,524 times 10^-8) = -1,8096 times 10^-7 , C
Denominador: 2,236 times 3,24 times 10^-6 approx 7,257 times 10^-6 , m^2
-1,8096 times 10^-77,257 times 10^-6 approx -0,02493 , C/m^2
E = 8,988 times 10^9 times (-0,02493) approx -2,242 times 10^8 , N/C

Resposta

(a) A carga total do anel é aproximadamente Q = -4,52 times 10^-8 , C.
(b) O campo elétrico no ponto situado sobre o eixo a uma distância z = R/2 é aproximadamente E = -2,24 times 10^8 , N/C.

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