Considere um anel isolante uniformemente carregado com densidade linear de cargas
e raio
. Determine (a) a carga total do anel e (b) 0 valor do campo elétrico num ponto situado sobre o eixo a uma distância de
, medida a partir do centro do anel.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um anel isolante que está carregado de forma uniforme. A gente tem duas informações principais:
- A densidade linear de carga, que é a quantidade de carga por metro, dada por
. - O raio do anel, que é
.
Vamos precisar usar conceitos de carga total em um objeto carregado e o campo elétrico gerado por esse anel em um ponto específico no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a carga total do anel. A carga total (
) pode ser encontrada multiplicando a densidade linear de carga (
) pelo comprimento total do anel. Como o anel é circular, o comprimento é a circunferência do círculo.
A fórmula fica:
Passo 3
Vamos substituir os valores na fórmula. Mas antes, precisamos converter o raio
de milímetros para metros para manter as unidades consistentes.
Agora, a circunferência:
Passo 4
Calculando a circunferência:
Passo 5
Agora, calculamos a carga total:
Passo 6
Pronto, temos a carga total do anel. Agora, vamos para a parte (b), que é calcular o campo elétrico em um ponto sobre o eixo a uma distância
do centro do anel.
A fórmula para o campo elétrico (
) no eixo de um anel carregado é:
Onde:
-
é a permissividade do vácuo, aproximadamente . -
é a distância do ponto ao centro do anel. -
é a carga total do anel. -
é o raio do anel.
Passo 7
Vamos substituir
na fórmula:
Simplificando o denominador:
Então:
Passo 8
Simplificando ainda mais:
Agora substituímos os valores:
Passo 9
Calculando:
Primeiro, calculamos o denominador:
Então:
Passo 10
Continuando os cálculos:
Resposta
(a) A carga total do anel é aproximadamente
.
(b) O campo elétrico no ponto situado sobre o eixo a uma distância
é aproximadamente
.