Considere o anel mathbb{Z}_{13}=\{\overline{0}, \overline{1}, \ldots, \overline{12}\} com as operações de adição e multiplicação usuais. Resolva os seguintes sistemas de equações em mathbb{Z}_{13} :
\left\{\begin{aligned} 4 x-y & =4 \\\\ 5 x+6 y & =11\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, em \mathbb{Z}_{13}\), o sistema \[\begin{cases} 4x - y = 4,\\\\ 5x + 6y = 11. \end{cases}
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares num corpo finito, usando regra de Cramer (determinantes e inversos em (\mathbb{Z}_{13}]).

Passo 2

Escrevemos a matriz dos coeficientes e calculamos seu determinante \Delta, sempre reduzindo módulo 13:
\Delta = \det\begin{pmatrix}4 & -1 \\\\ 5 & 6\end{pmatrix} =4\cdot6 - (-1)\cdot5 =24 +5 =29\equiv3\pmod{13}.
Como \Delta\equiv3, buscamos seu inverso em \mathbb{Z}_{13}. Testando, vemos que
3\cdot9 =27\equiv1\pmod{13},
logo \Delta^{-1}=9.

Passo 3

Aplicamos Cramer para x. Substituímos a coluna de x pelos termos constantes:
\Delta_x = \det\begin{pmatrix}4 & -1 \\\\ 11 & 6\end{pmatrix} =4\cdot6 - (-1)\cdot11 =24+11=35\equiv9\pmod{13}.
Então
x = \Delta_x\cdot\Delta^{-1} = 9\cdot9 =81\equiv3\pmod{13}.

Passo 4

Agora para y, substituímos a coluna de y pelos termos constantes:
\Delta_y = \det\begin{pmatrix}4 & 4 \\\\ 5 & 11\end{pmatrix} =4\cdot11 -4\cdot5 =44-20=24\equiv11\pmod{13}.
Logo
y = \Delta_y\cdot\Delta^{-1} = 11\cdot9 =99\equiv8\pmod{13}.

Passo 5

Para conferir, basta substituir (x,y)=(3,8) no sistema:
4\cdot3 -8 =12-8=4,\quad 5\cdot3 +6\cdot8 =15+48=63\equiv11\pmod{13},
confirmando a solução.

Resposta

(x,y) = (\overline{3},\,\overline{8})\quad\text{em }\mathbb{Z}_{13}.

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