Questão 15. Determine se as sequências abaixo de termo geral a_{n} são convergentes. Calcule o limite, se existir, usando as propriedades de limites.
[ a_{n}=e^{\frac{1}{n}} ]

Passo 1

O enunciado dá a sequência de termo geral a_{n}=e^{\frac{1}{n}} e pede para determinar se essa sequência é convergente e, se for, calcular o limite.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • A sequência é definida por a_{n}=e^{\frac{1}{n}} para n\in\mathbb{N}.
  • O que precisamos responder: a sequência converge? Qual é \lim_{n\to\infty} a_{n} se existir?

Passo 2

Primeiro passo técnico: calcular \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}. Vou mostrar isso de forma bem direta (inclusive com uma prova tipo \varepsilon- N para ficar rigoroso e você poder usar na prova).\n
Queremos mostrar que \displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0. Seja \varepsilon>0. Escolha N\in\mathbb{N} tal que N>\frac{1}{\varepsilon} (isso é possível porque há inteiros arbitrariamente grandes). Então, para todo n\ge N temos
\left|\frac{1}{n}-0\right|=\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Isso prova que \frac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty. Intuitivamente: conforme n cresce, o denominador cresce e a fração vai para zero.

Passo 3

Agora uma propriedade-chave de limites que vou usar (você pode usar diretamente na prova): se uma sequência x_n converge para L e f é uma função contínua em L, então a sequência f(x_n) converge para f(L).\n
Explicando de forma simples: continuidade significa que pequenas variações na entrada causam pequenas variações na saída; então, se x_n fica próximo de L, f(x_n) fica próximo de f(L). A função exponencial f(x)=e^{x} é contínua em todo número real (essa é uma propriedade padrão — pode-se justificar via série de Taylor ou propriedades básicas da exponencial), portanto podemos aplicar essa regra ao caso em que x_n=\frac{1}{n}.

Passo 4

Aplicando a propriedade do passo anterior: como \displaystyle \frac{1}{n}\to 0 e f(x)=e^{x} é contínua em 0, segue que
\lim_{n\to\infty} e^{\frac{1}{n}} = e^{\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}} = e^{0}.
E e^{0}=1. Logo a sequência converge e o limite é 1.\n
(Fica a intuição prática: a_1=e^{1}\approx 2{,}718, a_2=e^{1/2}\approx 1{,}649, a_5=e^{0{,}2}\approx 1{,}221, a_{10}\approx 1{,}105; vai se aproximando de 1.)

Passo 5

Método alternativo (útil caso o examinador prefira argumentos com monotonicidade/boundedness): observe que \frac{1}{n} é decrescente e positiva, então e^{\frac{1}{n}} também é decrescente (pois e^{x} é crescente) e satisfaz a_{n}>1 para todo n. Assim (a_n) é uma sequência monótona decrescente e limitada inferiormente por 1, logo converge por o teorema da convergência monotônica. Para identificar o limite L use o logaritmo: \ln(a_n)=\frac{1}{n}\to 0, então \ln(L)=0 e portanto L=e^{0}=1. Mesmo resultado, só por outra rota.

Resposta

\displaystyle \lim_{n\to\infty} a_{n}=1

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