Questão 29. Considere uma sequência \left\{x_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} dada pela seguinte fórmula de recursão:
x_{1}=1 \text { e } x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right), a>0
Supondo que a sequência \left\{x_{n}\right\}_{n \in \mathbb{N}} é convergente, mostre que seu limite é \sqrt{a}.

Passo 1

O enunciado dá a sequência definida por
x_{1}=1\qquad\text{e}\qquad x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right),\quad a>0.
Pede-se: supondo que a sequência \{x_n\} é convergente, mostrar que seu limite é \sqrt{a}.
Informações relevantes fornecidas:
x_1=1,\qquad x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+\frac{a}{x_n}\right),\qquad a>0,
e a hipótese extra: \{x_n\} converge.
O que precisamos encontrar: o valor do limite \displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n.

Passo 2

Primeiro vamos mostrar que todos os termos da sequência são positivos. Isso é importante pois a definição usa divisão por x_n.
Base: x_1=1>0.
Passo indutivo: suponha que x_n>0. Então, como a>0 e x_n>0, temos \dfrac{a}{x_n}>0. Portanto
x_{n+1}=\frac{1}{2}\Big(x_n+\frac{a}{x_n}\Big)>0,
pois é média aritmética de dois números positivos. Isso fecha a indução, logo
x_n>0\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Assim, em todos os termos a divisão \dfrac{a}{x_n} é válida (não há divisão por zero).

Passo 3

Se a sequência \{x_n\} converge, denotemos seu limite por
L=\lim_{n\to\infty} x_n.
Uma propriedade simples de sequências é que a sequência “deslocada” \{x_{n+1}\} tem o mesmo limite, isto é,
\lim_{n\to\infty} x_{n+1}=L.
(Explicação curta: se x_n\to L, então para cada \varepsilon existe N tal que |x_n-L|<\varepsilon para n\ge N; então para n\ge N também |x_{n+1}-L|<\varepsilon.)

Passo 4

Agora tomamos limite na relação de recorrência. Como vimos, x_n>0 para todo n, e as operações soma, divisão e multiplicação por constante preservam limites quando os limites envolvidos existem e o denominador limite é não nulo. Alternativamente, a função
f(x)=\frac{1}{2}\Big(x+\frac{a}{x}\Big)
é contínua em (0,\infty), então podemos aplicar f ao limite. Assim, tomando limites em ambos os lados de
x_{n+1}=\frac{1}{2}\Big(x_n+\frac{a}{x_n}\Big),
obtemos
L=\frac{1}{2}\Big(L+\frac{a}{L}\Big).

Passo 5

Resolvendo a equação para L:
L=\frac{1}{2}\Big(L+\frac{a}{L}\Big)\quad\Longrightarrow\quad 2L=L+\frac{a}{L}.
Subtraindo L de ambos os lados:
L=\frac{a}{L}.
Multiplicando por L:
L^2=a.
Logo
L=\pm\sqrt{a}.

Passo 6

Agora usamos a informação já estabelecida: todos os x_n são positivos, e o limite de uma sequência de números positivos não pode ser negativo. Além disso, a>0 impede L=0 porque L^2=a>0. Portanto descartamos a solução negativa e a solução zero, ficando
L=\sqrt{a}.

Passo 7

Comentário didático rápido (para usar na prova): a técnica usada foi
  1. mostrar que a sequência é bem definida e que não há divisão por zero (todos os termos positivos);
  2. assumir convergência e tomar limite na relação de recorrência; e
  3. resolver a equação resultante e usar informação de sinal para escolher a raiz correta. Essa é uma abordagem padrão para limites de sequências definidas por recorrência quando se suponhe convergência.

Resposta

\sqrt{a}

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