Questão 29. Considere uma sequência
dada pela seguinte fórmula de recursão:
Supondo que a sequência
é convergente, mostre que seu limite é
.
Passo 1
O enunciado dá a sequência definida por
Pede-se: supondo que a sequência
é convergente, mostrar que seu limite é
.
Informações relevantes fornecidas:
e a hipótese extra:
converge.
O que precisamos encontrar: o valor do limite
.
Passo 2
Primeiro vamos mostrar que todos os termos da sequência são positivos. Isso é importante pois a definição usa divisão por
.
Base:
.
Passo indutivo: suponha que
. Então, como
e
, temos
. Portanto
pois é média aritmética de dois números positivos. Isso fecha a indução, logo
Assim, em todos os termos a divisão
é válida (não há divisão por zero).
Passo 3
Se a sequência
converge, denotemos seu limite por
Uma propriedade simples de sequências é que a sequência “deslocada”
tem o mesmo limite, isto é,
(Explicação curta: se
, então para cada
existe
tal que
para
; então para
também
.)
Passo 4
Agora tomamos limite na relação de recorrência. Como vimos,
para todo
, e as operações soma, divisão e multiplicação por constante preservam limites quando os limites envolvidos existem e o denominador limite é não nulo. Alternativamente, a função
é contínua em
, então podemos aplicar
ao limite. Assim, tomando limites em ambos os lados de
obtemos
Passo 5
Resolvendo a equação para
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando por
:
Logo
Passo 6
Agora usamos a informação já estabelecida: todos os
são positivos, e o limite de uma sequência de números positivos não pode ser negativo. Além disso,
impede
porque
. Portanto descartamos a solução negativa e a solução zero, ficando
Passo 7
Comentário didático rápido (para usar na prova): a técnica usada foi
- mostrar que a sequência é bem definida e que não há divisão por zero (todos os termos positivos);
- assumir convergência e tomar limite na relação de recorrência; e
- resolver a equação resultante e usar informação de sinal para escolher a raiz correta. Essa é uma abordagem padrão para limites de sequências definidas por recorrência quando se suponhe convergência.