Considere o anel A=(Q, oplus, odot) com as operações de adição e multiplicação dadas a seguir:
a oplus b=a+b-3 e a odot b=a+b+a b3
Prove que B=Z não é um subanel de A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um anel A = (Q, oplus, odot) com as operações de adição e multiplicação definidas de maneira meio diferente. A questão quer que a gente prove que o conjunto B = Z (os números inteiros) não é um subanel de A . Para isso, vamos precisar lembrar o que é um anel, o que é um subanel e verificar se B satisfaz todas as condições para ser um subanel de A .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura matemática que tem dois tipos de operações: adição e multiplicação, e essas operações precisam satisfazer certas propriedades, como associatividade, existência de elemento neutro, etc. No nosso caso, a adição é oplus e a multiplicação é odot .
Agora, um subanel é um subconjunto que, por si só, também forma um anel com as mesmas operações. Isso significa que B precisa ser fechado em relação a oplus e odot , conter o elemento neutro do anel A , e incluir os inversos aditivos de seus elementos.

Passo 3

Vamos verificar se B = Z satisfaz essas condições. Primeiro, precisamos achar o elemento neutro de A em relação à adição oplus . O elemento neutro e satisfaz a oplus e = a para todo a in Q .
Então, temos:
a oplus e = a + e - 3 = a
Resolvendo para e :
a + e - 3 = a implies e - 3 = 0 implies e = 3
Portanto, o elemento neutro de A é 3.

Passo 4

Agora, para B ser um subanel, ele precisa conter esse elemento neutro, ou seja, 3 precisa estar em Z . Como 3 é um inteiro, essa condição é satisfeita.

Passo 5

O próximo passo é verificar se B é fechado em relação à adição oplus . Isso significa que, se pegarmos dois inteiros a e b , o resultado de a oplus b também deve ser um inteiro.
Calculando a oplus b :
a oplus b = a + b - 3
Como a e b são inteiros, a + b também é inteiro, e subtraindo 3, que também é inteiro, o resultado continua sendo inteiro. Então, B é fechado em relação à adição oplus .

Passo 6

Vamos agora verificar a multiplicação odot . Para B ser um subanel, ao multiplicar dois inteiros a e b usando odot , o resultado precisa ser um inteiro.
Calculando a odot b :
a odot b = a + b + a b3
Aqui, temos um problema. A fração a b3 nem sempre é um número inteiro. Por exemplo, se escolhermos a = 1 e b = 1 :
1 odot 1 = 1 + 1 + 1 times 13 = 2 + 13 = 73
Que não é um inteiro. Isso mostra que B não é fechado em relação à multiplicação odot .

Resposta

Assim, como existe pelo menos um par de inteiros cujo produto usando odot não é inteiro, o conjunto B = Z não é um subanel de A .

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