Considere o anel
com as operações de adição e multiplicação dadas a seguir:
Prove que
não é um subanel de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um anel
com as operações de adição e multiplicação definidas de maneira meio diferente. A questão quer que a gente prove que o conjunto
(os números inteiros) não é um subanel de
. Para isso, vamos precisar lembrar o que é um anel, o que é um subanel e verificar se
satisfaz todas as condições para ser um subanel de
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um anel. Um anel é uma estrutura matemática que tem dois tipos de operações: adição e multiplicação, e essas operações precisam satisfazer certas propriedades, como associatividade, existência de elemento neutro, etc. No nosso caso, a adição é
e a multiplicação é
.
Agora, um subanel é um subconjunto que, por si só, também forma um anel com as mesmas operações. Isso significa que
precisa ser fechado em relação a
e
, conter o elemento neutro do anel
, e incluir os inversos aditivos de seus elementos.
Passo 3
Vamos verificar se
satisfaz essas condições. Primeiro, precisamos achar o elemento neutro de
em relação à adição
. O elemento neutro
satisfaz
para todo
.
Então, temos:
Resolvendo para
:
Portanto, o elemento neutro de
é 3.
Passo 4
Agora, para
ser um subanel, ele precisa conter esse elemento neutro, ou seja,
precisa estar em
. Como
é um inteiro, essa condição é satisfeita.
Passo 5
O próximo passo é verificar se
é fechado em relação à adição
. Isso significa que, se pegarmos dois inteiros
e
, o resultado de
também deve ser um inteiro.
Calculando
:
Como
e
são inteiros,
também é inteiro, e subtraindo 3, que também é inteiro, o resultado continua sendo inteiro. Então,
é fechado em relação à adição
.
Passo 6
Vamos agora verificar a multiplicação
. Para
ser um subanel, ao multiplicar dois inteiros
e
usando
, o resultado precisa ser um inteiro.
Calculando
:
Aqui, temos um problema. A fração
nem sempre é um número inteiro. Por exemplo, se escolhermos
e
:
Que não é um inteiro. Isso mostra que
não é fechado em relação à multiplicação
.
Resposta
Assim, como existe pelo menos um par de inteiros cujo produto usando
não é inteiro, o conjunto
não é um subanel de
.