Então, a gente tem um anel e um elemento fixo dentro desse anel. A questão pede pra gente mostrar que o conjunto é um subanel de . Além disso, precisamos determinar no caso específico em que (os inteiros módulo 12) e . Vamos usar conceitos de teoria de anéis para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subanel. Um subanel de um anel é um subconjunto de que é ele próprio um anel, ou seja, que contém o elemento neutro, é fechado para adição e multiplicação, e todo elemento tem um negativo dentro do conjunto.
Passo 3
Agora, vamos mostrar que satisfaz essas propriedades:
Elemento neutro: O elemento neutro do anel é . Vamos verificar se . Multiplicando , então .
Fechamento para adição: Se , então e . Queremos ver se :
Então, .
Fechamento para multiplicação: Se , então e . Vamos verificar :
Assim, .
Existência de inversos: Se , então . O inverso de é , e:
Então, .
Como todas essas propriedades são satisfeitas, é realmente um subanel de .
Passo 4
Agora, vamos determinar no caso específico onde e . Aqui, representa os restos da divisão por 12, ou seja, os elementos são .
Queremos encontrar todos os x in Z12 tais que 2 cdot x = 0 .