Seja A um anel e a in A um elemento fixo. Mostre que
Ba=x in A ; a cdot x=0
é um subanel de A. Determine Ba no caso em que A=Z12 e a=2.

Passo 1

Então, a gente tem um anel A e um elemento fixo a dentro desse anel. A questão pede pra gente mostrar que o conjunto Ba = x in A ; a cdot x = 0 é um subanel de A . Além disso, precisamos determinar Ba no caso específico em que A = Z12 (os inteiros módulo 12) e a = 2 . Vamos usar conceitos de teoria de anéis para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subanel. Um subanel de um anel A é um subconjunto de A que é ele próprio um anel, ou seja, que contém o elemento neutro, é fechado para adição e multiplicação, e todo elemento tem um negativo dentro do conjunto.

Passo 3

Agora, vamos mostrar que Ba satisfaz essas propriedades:
  1. Elemento neutro: O elemento neutro do anel A é 0 . Vamos verificar se 0 in Ba . Multiplicando a cdot 0 = 0 , então 0 in Ba .
  2. Fechamento para adição: Se x, y in Ba , então a cdot x = 0 e a cdot y = 0 . Queremos ver se a cdot (x + y) = 0 :
a cdot (x + y) = a cdot x + a cdot y = 0 + 0 = 0
Então, x + y in Ba .
  1. Fechamento para multiplicação: Se x, y in Ba , então a cdot x = 0 e a cdot y = 0 . Vamos verificar a cdot (x cdot y) :
a cdot (x cdot y) = (a cdot x) cdot y = 0 cdot y = 0
Assim, x cdot y in Ba .
  1. Existência de inversos: Se x in Ba , então a cdot x = 0 . O inverso de x é -x , e:
a cdot (-x) = - (a cdot x) = -0 = 0
Então, -x in Ba .
Como todas essas propriedades são satisfeitas, Ba é realmente um subanel de A .

Passo 4

Agora, vamos determinar Ba no caso específico onde A = Z12 e a = 2 . Aqui, Z12 representa os restos da divisão por 12, ou seja, os elementos são 0, 1, 2, ldots, 11 .
Queremos encontrar todos os x in Z12 tais que 2 cdot x = 0 .
Vamos calcular 2 cdot x para cada x :
2 cdot 0 &= 0 2 cdot 1 &= 2 2 cdot 2 &= 4 2 cdot 3 &= 6 2 cdot 4 &= 8 2 cdot 5 &= 10 2 cdot 6 &= 12 = 0 2 cdot 7 &= 14 = 2 2 cdot 8 &= 16 = 4 2 cdot 9 &= 18 = 6 2 cdot 10 &= 20 = 8 2 cdot 11 &= 22 = 10
Observamos que 2 cdot x = 0 apenas quando x = 0 ou x = 6 .

Resposta

Portanto, Ba = 0, 6 quando A = Z12 e a = 2 .

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