Seja D um domínio e a in D. Mostre que:
se a^2=1, então a=1 ou a=-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um elemento a em um domínio D e sabemos que a^2 = 1 . Nosso objetivo é mostrar que, se isso é verdade, então a tem que ser igual a 1 ou a -1 . Para resolver isso, vamos usar a teoria de álgebra básica, especialmente a fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação dada: a^2 = 1 . Isso significa que o quadrado de a é igual a 1. Podemos reescrever essa equação trazendo tudo para um lado:
a^2 - 1 = 0

Passo 3

Agora, vamos fatorar o lado esquerdo da equação. A expressão a^2 - 1 é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)
Então, substituindo de volta na equação, temos:
(a - 1)(a + 1) = 0

Passo 4

Segundo a propriedade dos números, se o produto de dois fatores é zero, então pelo menos um dos fatores deve ser zero. Ou seja, ou a - 1 = 0 ou a + 1 = 0 .

Passo 5

Resolvendo cada uma dessas equações simples:
  1. Se a - 1 = 0 , então a = 1 .
  2. Se a + 1 = 0 , então a = -1 .

Resposta

Portanto, se a^2 = 1 , então a = 1 ou a = -1 .

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