Seja
um domínio e
. Mostre que:
se
, então
ou
.
se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um elemento
em um domínio
e sabemos que
. Nosso objetivo é mostrar que, se isso é verdade, então
tem que ser igual a
ou a
. Para resolver isso, vamos usar a teoria de álgebra básica, especialmente a fatoração de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação dada:
. Isso significa que o quadrado de
é igual a 1. Podemos reescrever essa equação trazendo tudo para um lado:
Passo 3
Agora, vamos fatorar o lado esquerdo da equação. A expressão
é uma diferença de quadrados, que pode ser fatorada da seguinte maneira:
Então, substituindo de volta na equação, temos:
Passo 4
Segundo a propriedade dos números, se o produto de dois fatores é zero, então pelo menos um dos fatores deve ser zero. Ou seja, ou
ou
.
Passo 5
Resolvendo cada uma dessas equações simples:
- Se
, então . - Se
, então .
Resposta
Portanto, se
, então
ou
.