Seja A um anel. Mostre que Z(A)=x in A ; x y=y x, forall y in A é um subanel de A, chamado centro de A.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o conjunto Z(A) = x in A ; x y = y x, forall y in A é um subanel de A , chamado de centro de A . Aqui, estamos trabalhando com a teoria dos anéis, que é uma parte da álgebra abstrata. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um anel, o que significa ser um subanel e o que é o centro de um anel. Vamos dar um passo de cada vez!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel A é uma estrutura matemática composta por um conjunto de elementos onde podemos fazer duas operações: adição e multiplicação. Essas operações devem satisfazer certas propriedades, como a associatividade da adição e da multiplicação, existência de elemento neutro para a adição, etc.
Agora, para mostrar que Z(A) é um subanel de A , precisamos verificar três coisas:
  1. Z(A) não está vazio.
  2. Z(A) é fechado em relação à adição.
  3. Z(A) é fechado em relação à multiplicação.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.

Passo 3

1. Z(A) não está vazio:
Para mostrar que Z(A) não está vazio, basta encontrar pelo menos um elemento que pertença a Z(A) . O elemento neutro da multiplicação no anel A (se existir) comuta com todos os outros elementos. Ou seja, se 1 é o elemento neutro, então 1 cdot y = y cdot 1 = y para todo y in A . Assim, 1 in Z(A) , então Z(A) não está vazio.

Passo 4

2. Z(A) é fechado em relação à adição:
Queremos mostrar que se x e y estão em Z(A) , então x + y também está em Z(A) .
Isso significa que para todo a in A :
(x + y) cdot a = a cdot (x + y)
Usando a distributividade da multiplicação sobre a adição, temos:
x cdot a + y cdot a = a cdot x + a cdot y
Como x e y estão em Z(A) , sabemos que x cdot a = a cdot x e y cdot a = a cdot y . Então, substituindo:
a cdot x + a cdot y = a cdot x + a cdot y
A igualdade se mantém, então x + y in Z(A) . Assim, Z(A) é fechado em relação à adição.

Passo 5

3. Z(A) é fechado em relação à multiplicação:
Agora, queremos mostrar que se x e y estão em Z(A) , então x cdot y também está em Z(A) .
Ou seja, para todo a in A :
(x cdot y) cdot a = a cdot (x cdot y)
Usando a associatividade da multiplicação no anel A , podemos reescrever isso como:
x cdot (y cdot a) = (a cdot x) cdot y
Como y in Z(A) , temos y cdot a = a cdot y , então:
x cdot (a cdot y) = (a cdot x) cdot y
Novamente, usando associatividade:
(a cdot x) cdot y = a cdot (x cdot y)
E como x in Z(A) , x cdot y = y cdot x , assim:
a cdot (y cdot x) = a cdot (x cdot y)
Portanto, x cdot y in Z(A) , e assim Z(A) é fechado em relação à multiplicação.

Resposta

Concluímos que Z(A) satisfaz todas as propriedades para ser um subanel de A . Portanto, o conjunto Z(A) = x in A ; x y = y x, forall y in A é de fato o centro do anel A .

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