Seja
um anel. Mostre que
é um subanel de
, chamado centro de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que o conjunto
é um subanel de
, chamado de centro de
. Aqui, estamos trabalhando com a teoria dos anéis, que é uma parte da álgebra abstrata. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um anel, o que significa ser um subanel e o que é o centro de um anel. Vamos dar um passo de cada vez!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um anel. Um anel
é uma estrutura matemática composta por um conjunto de elementos onde podemos fazer duas operações: adição e multiplicação. Essas operações devem satisfazer certas propriedades, como a associatividade da adição e da multiplicação, existência de elemento neutro para a adição, etc.
Agora, para mostrar que
é um subanel de
, precisamos verificar três coisas:
-
não está vazio. -
é fechado em relação à adição. -
é fechado em relação à multiplicação.
Vamos verificar cada uma dessas propriedades passo a passo.
Passo 3
1.
não está vazio:
Para mostrar que
não está vazio, basta encontrar pelo menos um elemento que pertença a
. O elemento neutro da multiplicação no anel
(se existir) comuta com todos os outros elementos. Ou seja, se
é o elemento neutro, então
para todo
. Assim,
, então
não está vazio.
Passo 4
2.
é fechado em relação à adição:
Queremos mostrar que se
e
estão em
, então
também está em
.
Isso significa que para todo
:
Usando a distributividade da multiplicação sobre a adição, temos:
Como
e
estão em
, sabemos que
e
. Então, substituindo:
A igualdade se mantém, então
. Assim,
é fechado em relação à adição.
Passo 5
3.
é fechado em relação à multiplicação:
Agora, queremos mostrar que se
e
estão em
, então
também está em
.
Ou seja, para todo
:
Usando a associatividade da multiplicação no anel
, podemos reescrever isso como:
Como
, temos
, então:
Novamente, usando associatividade:
E como
,
, assim:
Portanto,
, e assim
é fechado em relação à multiplicação.
Resposta
Concluímos que
satisfaz todas as propriedades para ser um subanel de
. Portanto, o conjunto
é de fato o centro do anel
.