Seja
um domínio e
. Mostre que:
se
, então
ou
.
se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um domínio
e um elemento
dentro desse domínio. A condição dada é que
. Nosso objetivo é mostrar que, se isso é verdade, então
só pode ser 0 ou 1. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre álgebra de anéis e propriedades dos domínios, mas vou explicar cada parte conforme a gente avança.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação
de uma forma que seja mais fácil de trabalhar. Subtraindo
de ambos os lados da equação, temos:
Passo 3
Agora, vamos fatorar essa expressão. Fatorar significa escrever a expressão como um produto de outros termos. No caso, podemos fatorar
de ambos os termos:
Passo 4
Chegamos a uma equação do tipo
. Em álgebra, sabemos que se o produto de dois números é zero, pelo menos um deles deve ser zero. Isso é conhecido como a Lei do Produto Nulo. Então, temos duas possibilidades:
Passo 5
Vamos analisar cada possibilidade:
- Se
, essa já é uma solução direta. - Se
, então adicionando 1 em ambos os lados, temos .
Passo 6
Então, concluímos que as únicas soluções possíveis para a equação
em um domínio
são
ou
. Não existem outros elementos em
que satisfaçam essa condição.
Resposta
Se
em um domínio
, então
deve ser igual a 0 ou a 1.