Seja D um domínio e a in D. Mostre que:
se a^2=a, então a=0 ou a=1.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um domínio D e um elemento a dentro desse domínio. A condição dada é que a^2 = a . Nosso objetivo é mostrar que, se isso é verdade, então a só pode ser 0 ou 1. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre álgebra de anéis e propriedades dos domínios, mas vou explicar cada parte conforme a gente avança.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação a^2 = a de uma forma que seja mais fácil de trabalhar. Subtraindo a de ambos os lados da equação, temos:
a^2 - a = 0

Passo 3

Agora, vamos fatorar essa expressão. Fatorar significa escrever a expressão como um produto de outros termos. No caso, podemos fatorar a de ambos os termos:
a(a - 1) = 0

Passo 4

Chegamos a uma equação do tipo a(a - 1) = 0 . Em álgebra, sabemos que se o produto de dois números é zero, pelo menos um deles deve ser zero. Isso é conhecido como a Lei do Produto Nulo. Então, temos duas possibilidades:
  1. a = 0
  2. a - 1 = 0

Passo 5

Vamos analisar cada possibilidade:
  1. Se a = 0 , essa já é uma solução direta.
  2. Se a - 1 = 0 , então adicionando 1 em ambos os lados, temos a = 1 .

Passo 6

Então, concluímos que as únicas soluções possíveis para a equação a^2 = a em um domínio D são a = 0 ou a = 1 . Não existem outros elementos em D que satisfaçam essa condição.

Resposta

Se a^2 = a em um domínio D , então a deve ser igual a 0 ou a 1.

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