Considere um anel de raio
e carga
distribuída segundo a densidade
. O anel está no plano
com seu centro na origem de um sistema de coordenadas. O ângulo
é formado em relação ao eixo
crescendo no sentido anti-horário. É colocada uma carga pontual
a uma distância
do centro do anel e ao longo do seu eixo principal.
(a) Encontre
(b) Construa o gráfico de
como função de
.
(c) Encontre a força do anel sobre a carga pontual e vice versa.
(d) Encontre a energia potencial do sistema e seu gráfico como função de
.
(e) Encontre o campo do anel na posição onde a carga pontual se encontra.
(f) Construa uma superfície fechada que englobe completamente o anel e calcule o fluxo de seu campo sobre essa superfície.
(a) Encontre
(b) Construa o gráfico de
(c) Encontre a força do anel sobre a carga pontual e vice versa.
(d) Encontre a energia potencial do sistema e seu gráfico como função de
(e) Encontre o campo do anel na posição onde a carga pontual se encontra.
(f) Construa uma superfície fechada que englobe completamente o anel e calcule o fluxo de seu campo sobre essa superfície.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, com todas as informações úteis extraídas do texto.
- O anel tem raio
e está no plano com centro na origem. - A densidade linear de carga ao longo do anel (por comprimento de arco) é dada por
, onde é o ângulo medido a partir do eixo no sentido anti-horário, variando em princípio em . - A carga total do anel é
(essa é a carga total do anel; informação implícita: ao integrar sobre todo o anel obtém-se ). - Há uma carga pontual
colocada no eixo do anel (eixo ), a uma distância do centro do anel; portanto a posição da carga é . - O que o enunciado pede:
(a) encontrar;
(b) desenhar/descrição do gráfico deem função de ;
(c) encontrar a força do anel sobre a carga pontual e a força recíproca (carga sobre o anel);
(d) encontrar a energia potencial do sistema e desenhar/descrição do gráfico em função de;
(e) encontrar o campo elétrico do anel na posição onde a carga pontual se encontra;
(f) construir uma superfície fechada que englobe o anel e calcular o fluxo do campo do anel sobre essa superfície.
Passo 2
(a) Encontrar
.
Explicação da ideia/receita: a carga total
do anel é a integral da densidade linear ao longo do comprimento do anel. Um elemento de comprimento de arco do anel é
. Assim, a carga de um pequeno pedaço é
Integrando ao longo de todo o anel, de
até
, obtemos
:
Calcule a integral:
Isolando
:
Interpretação:
tem dimensões de carga por ângulo por comprimento invertido adequadas de densidade linear multiplicada por
.
Passo 3
(b) Gráfico de
como função de
.
- A função é linear em
: . - Para
é uma reta que parte de e sobe até
- Portanto o gráfico é uma linha reta passando por
e por . É decrescente para ângulos negativos (se estendesse), mas no intervalo dado é estritamente crescente. (Visual: inclinação positiva, valor máximo em .)
Passo 4
(c) Força do anel sobre a carga pontual
(e vice-versa).
Plano de ataque e conceitos usados:
- Usar a lei de Coulomb para um elemento
: ele produz um campo diferencial , onde , é o vetor que vai da carga elementar até o ponto onde se quer o campo, e . - Somar (integrar) as contribuições ao longo do anel.
- Devido à geometria não uniforme, as componentes horizontais podem não se cancelar completamente; portanto calculamos separadamente componentes
.
Posicionamento e expressão dos vetores:
- Um elemento do anel em ângulo
tem coordenadas
- O ponto onde está a carga
é . - O vetor que vai do elemento até a carga é
- A distância é
Campo diferencial devido a
:
Agora integremos cada componente de
para
de
a
.
Componente
:
Calcule a integral (por partes):
Logo
.
Componente
:
Calcule a integral (por partes):
Portanto
Componente
:
Agora substituímos
(obtido no Passo 2) para limpar as expressões:
- Para
:
- Para
:
Conclusão: o campo elétrico do anel no ponto
é
Observações físicas e orientação:
- Há componente radial lateral (no sentido positivo de
) porque a densidade cresce com e a distribuição não é azimutalmente simétrica; o resultado aponta no plano (sem componente ). - A força sobre a carga
é simplesmente
- A força recíproca (carga
sobre o anel) é oposta pela terceira lei de Newton:
Passo 5
(d) Energia potencial do sistema
e seu gráfico.
Conceito: a energia potencial eletrostática de um par (distribuição fixa + carga pontual) é
, onde
é o potencial criado pela distribuição (o anel) no ponto da carga. O potencial devido a um elemento
é
e, aqui,
independe de
, o que simplifica muito.
Calcule o potencial no ponto
:
Mas já calculámos
(essa integral é a carga total). Logo
Portanto a energia potencial da carga
na presença do anel é
Gráfico e comportamento em função de
:
-
é uma função positiva (se ) ou negativa (se ), e varia como . - Para
: (valor máximo em módulo quando diminui). - Para
: decaindo como (comportamento de carga pontual efetiva). - Forma do gráfico: curva monotonicamente decrescente em
partindo de com e tendendo a zero quando . (Se , é o mesmo formato com sinal negativo.)
Passo 6
(e) Campo do anel na posição onde a carga pontual se encontra.
Já calculado no Passo 4; apenas reitero de forma compacta e com a forma usando
se preferir.
Usando
, o campo é
E a força sobre
é
.
Passo 7
(f) Superfície fechada que englobe o anel e fluxo do campo sobre ela.
Escolha simples e justificativa:
- Escolher uma esfera centrada na origem (o centro do anel) com raio
. Essa esfera é uma superfície fechada que envolve todo o anel (o anel fica inteiramente dentro da esfera). - Pelo Teorema de Gauss (lei de Gauss), o fluxo do campo elétrico através de qualquer superfície fechada
é igual à carga total envolvida dividida por :
- Se a superfície foi escolhida de modo a conter apenas o anel e não conter a carga
(por exemplo se , ou simplesmente considerar apenas o campo devido ao anel isoladamente), então e
- Mesmo que a superfície contenha também a carga
, a lei de Gauss dá para o campo total. Se quisermos apenas o fluxo do campo criado pelo anel, a contribuição líquida de quaisquer cargas externas (fora da superfície) é zero; portanto o fluxo do campo do anel através de uma superfície que engloba completamente o anel é exatamente (independente da forma escolhida).
Interpretação física: fluxo total pelo contorno mede carga total envolvida; por isso o fluxo do campo do anel através de qualquer superfície que o englobe é
.
Resposta
(a)
(b)
é uma reta em
que parte de
e chega a
.
(c)
.
(d)
. Gráfico: decresce como
, com
e
quando
.
(e)
onde
.
(f) Escolhendo, por exemplo, uma esfera centrada na origem com raio
que engloba o anel, o fluxo do campo do anel através dessa superfície é