Considere um anel de raio R e carga Q distribuída segundo a densidade \lambda(\varphi)=\lambda_{0} \varphi. O anel está no plano x y com seu centro na origem de um sistema de coordenadas. O ângulo \varphi é formado em relação ao eixo x crescendo no sentido anti-horário. É colocada uma carga pontual q a uma distância r do centro do anel e ao longo do seu eixo principal.
(a) Encontre \lambda_{0}
(b) Construa o gráfico de \lambda como função de \varphi.
(c) Encontre a força do anel sobre a carga pontual e vice versa.
(d) Encontre a energia potencial do sistema e seu gráfico como função de r.
(e) Encontre o campo do anel na posição onde a carga pontual se encontra.
(f) Construa uma superfície fechada que englobe completamente o anel e calcule o fluxo de seu campo sobre essa superfície.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, com todas as informações úteis extraídas do texto.
  • O anel tem raio R e está no plano xy com centro na origem.
  • A densidade linear de carga ao longo do anel (por comprimento de arco) é dada por \lambda(\varphi)=\lambda_{0}\,\varphi, onde \varphi é o ângulo medido a partir do eixo x no sentido anti-horário, variando em princípio em [0,2\pi].
  • A carga total do anel é Q (essa é a carga total do anel; informação implícita: ao integrar \lambda sobre todo o anel obtém-se Q).
  • Há uma carga pontual q colocada no eixo do anel (eixo z), a uma distância r do centro do anel; portanto a posição da carga é (0,0,r).
  • O que o enunciado pede:
    (a) encontrar \lambda_{0};
    (b) desenhar/descrição do gráfico de \lambda em função de \varphi;
    (c) encontrar a força do anel sobre a carga pontual e a força recíproca (carga sobre o anel);
    (d) encontrar a energia potencial do sistema e desenhar/descrição do gráfico em função de r;
    (e) encontrar o campo elétrico do anel na posição onde a carga pontual se encontra;
    (f) construir uma superfície fechada que englobe o anel e calcular o fluxo do campo do anel sobre essa superfície.

Passo 2

(a) Encontrar \lambda_{0}.
Explicação da ideia/receita: a carga total Q do anel é a integral da densidade linear ao longo do comprimento do anel. Um elemento de comprimento de arco do anel é ds=R\,d\varphi. Assim, a carga de um pequeno pedaço é
dq=\lambda(\varphi)\,ds=\lambda_{0}\,\varphi\,R\,d\varphi.
Integrando ao longo de todo o anel, de \varphi=0 até \varphi=2\pi, obtemos Q:
Q=\int_{0}^{2\pi} dq=\int_{0}^{2\pi}\lambda_{0}\,\varphi\,R\,d\varphi.
Calcule a integral:
Q=\lambda_{0}R\int_{0}^{2\pi}\varphi\,d\varphi =\lambda_{0}R\left[\frac{\varphi^{2}}{2}\right]_{0}^{2\pi} =\lambda_{0}R\cdot\frac{(2\pi)^{2}}{2} =\lambda_{0}R\cdot 2\pi^{2}.
Isolando \lambda_{0}:
\lambda_{0}=\frac{Q}{2\pi^{2}R}.
Interpretação: \lambda_{0} tem dimensões de carga por ângulo por comprimento invertido adequadas de densidade linear multiplicada por \varphi.

Passo 3

(b) Gráfico de \lambda(\varphi) como função de \varphi.
  • A função é linear em \varphi: \lambda(\varphi)=\lambda_{0}\,\varphi.
  • Para \varphi\in[0,2\pi] é uma reta que parte de \lambda(0)=0 e sobe até
\lambda(2\pi)=\lambda_{0}\,2\pi=\frac{Q}{2\pi^{2}R}\cdot 2\pi=\frac{Q}{\pi R}.
  • Portanto o gráfico é uma linha reta passando por (0,0) e por \bigl(2\pi,\tfrac{Q}{\pi R}\bigr). É decrescente para ângulos negativos (se estendesse), mas no intervalo dado é estritamente crescente. (Visual: inclinação positiva, valor máximo em \varphi=2\pi.)

Passo 4

(c) Força do anel sobre a carga pontual q (e vice-versa).
Plano de ataque e conceitos usados:
  • Usar a lei de Coulomb para um elemento dq: ele produz um campo diferencial \,d\mathbf{E}=k\,\dfrac{dq\,\mathbf{r}}{r^{3}}, onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}, \mathbf{r} é o vetor que vai da carga elementar até o ponto onde se quer o campo, e r=|\mathbf{r}|.
  • Somar (integrar) as contribuições ao longo do anel.
  • Devido à geometria não uniforme, as componentes horizontais podem não se cancelar completamente; portanto calculamos separadamente componentes x,y,z.
Posicionamento e expressão dos vetores:
  • Um elemento do anel em ângulo \varphi tem coordenadas
\mathbf{r}'=(R\cos\varphi,\,R\sin\varphi,\,0).
  • O ponto onde está a carga q é \mathbf{r}_{q}=(0,0,r).
  • O vetor que vai do elemento até a carga é
\mathbf{R}=\mathbf{r}_{q}-\mathbf{r}' = (-R\cos\varphi,\,-R\sin\varphi,\,r).
  • A distância é
|\mathbf{R}|=\sqrt{R^{2}+r^{2}}\qquad\text{(independente de }\varphi\text{)}.
Campo diferencial devido a dq=\lambda(\varphi)R\,d\varphi=\lambda_{0}\varphi R\,d\varphi:
d\mathbf{E}=k\,\frac{dq}{(R^{2}+r^{2})^{3/2}}\,\mathbf{R} = k\,\frac{\lambda_{0}\,\varphi\,R\,d\varphi}{(R^{2}+r^{2})^{3/2}}\;(-R\cos\varphi,\,-R\sin\varphi,\,r).
Agora integremos cada componente de \mathbf{E} para \varphi de 0 a 2\pi.
Componente x:
E_{x}=-k\frac{\lambda_{0}R^{2}}{(R^{2}+r^{2})^{3/2}}\int_{0}^{2\pi}\varphi\cos\varphi\,d\varphi.
Calcule a integral (por partes):
\int_{0}^{2\pi}\varphi\cos\varphi\,d\varphi =\bigl[\varphi\sin\varphi\bigr]_{0}^{2\pi}-\int_{0}^{2\pi}\sin\varphi\,d\varphi =0-0=0.
Logo E_{x}=0.
Componente y:
E_{y}=-k\frac{\lambda_{0}R^{2}}{(R^{2}+r^{2})^{3/2}}\int_{0}^{2\pi}\varphi\sin\varphi\,d\varphi.
Calcule a integral (por partes):
\int_{0}^{2\pi}\varphi\sin\varphi\,d\varphi =\bigl(-\varphi\cos\varphi+\sin\varphi\bigr)_{0}^{2\pi} =-(2\pi)\cos(2\pi)+0 - (0+0) = -2\pi.
Portanto
E_{y}=-k\frac{\lambda_{0}R^{2}}{(R^{2}+r^{2})^{3/2}}(-2\pi) = \frac{2\pi k\lambda_{0}R^{2}}{(R^{2}+r^{2})^{3/2}}.
Componente z:
E_{z}=k\frac{\lambda_{0}R\,r}{(R^{2}+r^{2})^{3/2}}\int_{0}^{2\pi}\varphi\,d\varphi = k\frac{\lambda_{0}R\,r}{(R^{2}+r^{2})^{3/2}}\cdot\frac{(2\pi)^{2}}{2} = k\frac{\lambda_{0}R\,r\cdot 2\pi^{2}}{(R^{2}+r^{2})^{3/2}}.
Agora substituímos \lambda_{0}=\dfrac{Q}{2\pi^{2}R} (obtido no Passo 2) para limpar as expressões:
  • Para E_{y}:
E_{y}=\frac{2\pi k}{(R^{2}+r^{2})^{3/2}}\cdot\lambda_{0}R^{2} = \frac{2\pi k}{(R^{2}+r^{2})^{3/2}}\cdot\frac{Q}{2\pi^{2}R}\,R^{2} = \frac{kQ R}{\pi (R^{2}+r^{2})^{3/2}}.
  • Para E_{z}:
E_{z}=k\frac{\lambda_{0}R\,r\cdot 2\pi^{2}}{(R^{2}+r^{2})^{3/2}} = k\frac{Q}{2\pi^{2}R}\cdot R\,r\cdot\frac{2\pi^{2}}{(R^{2}+r^{2})^{3/2}} = \frac{kQ\,r}{(R^{2}+r^{2})^{3/2}}.
Conclusão: o campo elétrico do anel no ponto (0,0,r) é
\mathbf{E}(0,0,r)=E_{y}\,\hat{\mathbf{y}}+E_{z}\,\hat{\mathbf{z}} = \frac{kQ R}{\pi (R^{2}+r^{2})^{3/2}}\,\hat{\mathbf{y}} +\frac{kQ r}{(R^{2}+r^{2})^{3/2}}\,\hat{\mathbf{z}}.
Observações físicas e orientação:
  • Há componente radial lateral (no sentido positivo de y) porque a densidade cresce com \varphi e a distribuição não é azimutalmente simétrica; o resultado aponta no plano y\!-\!z (sem componente x).
  • A força sobre a carga q é simplesmente
\mathbf{F}_{\text{anel sobre }q}=q\,\mathbf{E} = q\left(\frac{kQ R}{\pi (R^{2}+r^{2})^{3/2}}\,\hat{\mathbf{y}}+\frac{kQ r}{(R^{2}+r^{2})^{3/2}}\,\hat{\mathbf{z}}\right).
  • A força recíproca (carga q sobre o anel) é oposta pela terceira lei de Newton:
\mathbf{F}_{q\text{ sobre anel}}=-\mathbf{F}_{\text{anel sobre }q}.

Passo 5

(d) Energia potencial do sistema U(r) e seu gráfico.
Conceito: a energia potencial eletrostática de um par (distribuição fixa + carga pontual) é U=q\,V, onde V é o potencial criado pela distribuição (o anel) no ponto da carga. O potencial devido a um elemento dq é dV=k\,dq/|\mathbf{R}| e, aqui, |\mathbf{R}|=\sqrt{R^{2}+r^{2}} independe de \varphi, o que simplifica muito.
Calcule o potencial no ponto (0,0,r):
V(0,0,r)=\int dV = \int_{0}^{2\pi} k\frac{dq}{\sqrt{R^{2}+r^{2}}} = k\frac{1}{\sqrt{R^{2}+r^{2}}}\int_{0}^{2\pi}\lambda_{0}\varphi R\,d\varphi.
Mas já calculámos \int_{0}^{2\pi}\lambda_{0}\varphi R\,d\varphi=Q (essa integral é a carga total). Logo
V(0,0,r)=\frac{kQ}{\sqrt{R^{2}+r^{2}}}.
Portanto a energia potencial da carga q na presença do anel é
U(r)=qV(0,0,r)=\frac{k q Q}{\sqrt{R^{2}+r^{2}}}.
Gráfico e comportamento em função de r:
  • U(r) é uma função positiva (se qQ>0) ou negativa (se qQ<0), e varia como 1/\sqrt{R^{2}+r^{2}}.
  • Para r\to 0: U(0)=\dfrac{kqQ}{R} (valor máximo em módulo quando r diminui).
  • Para r\to\infty: U(r)\sim \dfrac{kqQ}{r} decaindo como 1/r (comportamento de carga pontual efetiva).
  • Forma do gráfico: curva monotonicamente decrescente em |r| partindo de r=0 com U(0)=kqQ/R e tendendo a zero quando |r|\to\infty. (Se qQ<0, é o mesmo formato com sinal negativo.)

Passo 6

(e) Campo do anel na posição onde a carga pontual se encontra.
Já calculado no Passo 4; apenas reitero de forma compacta e com a forma usando \varepsilon_{0} se preferir.
Usando k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}, o campo é
\boxed{\mathbf{E}(0,0,r)= \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q R}{\pi (R^{2}+r^{2})^{3/2}}\,\hat{\mathbf{y}} +\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{Q r}{(R^{2}+r^{2})^{3/2}}\,\hat{\mathbf{z}}.}
E a força sobre q é \mathbf{F}=q\mathbf{E}.

Passo 7

(f) Superfície fechada que englobe o anel e fluxo do campo sobre ela.
Escolha simples e justificativa:
  • Escolher uma esfera centrada na origem (o centro do anel) com raio a>R. Essa esfera é uma superfície fechada que envolve todo o anel (o anel fica inteiramente dentro da esfera).
  • Pelo Teorema de Gauss (lei de Gauss), o fluxo do campo elétrico através de qualquer superfície fechada \mathcal{S} é igual à carga total envolvida dividida por \varepsilon_{0}:
\Phi=\oint_{\mathcal{S}}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_{0}}.
  • Se a superfície foi escolhida de modo a conter apenas o anel e não conter a carga q (por exemplo se r>a, ou simplesmente considerar apenas o campo devido ao anel isoladamente), então Q_{\text{enc}}=Q e
\Phi=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}.
  • Mesmo que a superfície contenha também a carga q, a lei de Gauss dá \Phi=(Q+q)/\varepsilon_{0} para o campo total. Se quisermos apenas o fluxo do campo criado pelo anel, a contribuição líquida de quaisquer cargas externas (fora da superfície) é zero; portanto o fluxo do campo do anel através de uma superfície que engloba completamente o anel é exatamente Q/\varepsilon_{0} (independente da forma escolhida).
Interpretação física: fluxo total pelo contorno mede carga total envolvida; por isso o fluxo do campo do anel através de qualquer superfície que o englobe é \dfrac{Q}{\varepsilon_{0}}.

Resposta

(a) \lambda_{0}=\dfrac{Q}{2\pi^{2}R}
(b) \lambda(\varphi)=\lambda_{0}\varphi é uma reta em \varphi\in[0,2\pi] que parte de \lambda(0)=0 e chega a \lambda(2\pi)=\dfrac{Q}{\pi R}.
(c) \displaystyle \mathbf{F}_{\text{anel sobre }q}=q\left(\frac{kQ R}{\pi (R^{2}+r^{2})^{3/2}}\,\hat{\mathbf{y}}+\frac{kQ r}{(R^{2}+r^{2})^{3/2}}\,\hat{\mathbf{z}}\right).
\displaystyle \mathbf{F}_{q\text{ sobre anel}}=-\mathbf{F}_{\text{anel sobre }q}.
(d) \displaystyle U(r)=\frac{k\,q\,Q}{\sqrt{R^{2}+r^{2}}}. Gráfico: decresce como 1/\sqrt{R^{2}+r^{2}}, com U(0)=kqQ/R e U(r)\to 0 quando r\to\infty.
(e) \displaystyle \mathbf{E}(0,0,r)=\frac{kQ R}{\pi (R^{2}+r^{2})^{3/2}}\,\hat{\mathbf{y}}+\frac{kQ r}{(R^{2}+r^{2})^{3/2}}\,\hat{\mathbf{z}}, onde k=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}.
(f) Escolhendo, por exemplo, uma esfera centrada na origem com raio a>R que engloba o anel, o fluxo do campo do anel através dessa superfície é
\displaystyle \Phi=\frac{Q}{\varepsilon_{0}}.

Exercícios relacionados