Considere um anel de raio
carregado uniformemente com uma densidade linear de carga
(carga por unidade de comprimento). Determine o campo elétrico E em um ponto P localizado a uma distância y ao longo do eixo central perpendicular ao plano do anel.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de eletrostática onde temos um anel de raio $ R $ carregado uniformemente com uma densidade linear de carga $ \lambda $. O objetivo é determinar o campo elétrico $ \mathbf{E} $ em um ponto $ P $ que está a uma distância $ y $ ao longo do eixo central perpendicular ao plano do anel. Para isso, vamos usar conceitos de campo elétrico gerado por distribuições de carga e a lei de Coulomb.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a densidade linear de carga $ \lambda $ significa que cada pequeno elemento de comprimento $ dl $ no anel carrega uma carga $ dq = \lambda , dl $.
Passo 3
O campo elétrico gerado por um elemento de carga $ dq $ em um ponto $ P $ é dado pela Lei de Coulomb:
onde $ r $ é a distância entre o elemento de carga e o ponto $ P $, e $ \hat{\mathbf{r}} $ é o vetor unitário na direção de $ r $.
Passo 4
No nosso caso, o ponto $ P $ está ao longo do eixo central do anel, a uma distância $ y $ do centro. A distância $ r $ do elemento de carga $ dq $ até $ P $ pode ser encontrada usando o teorema de Pitágoras:
Note que $ r $ é constante para todos os elementos do anel devido à simetria.
Passo 5
Devido à simetria do anel, as componentes horizontais dos campos elétricos produzidos por elementos opostos do anel se cancelam. Apenas a componente vertical (ao longo do eixo) contribui para o campo total. A componente vertical de $ d\mathbf{E} $ é:
Passo 6
Para encontrar o campo elétrico total $ \mathbf{E} $, integramos $ dE_y $ ao redor de todo o anel. A integral de $ dl $ ao redor do anel é simplesmente o perímetro do anel:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Resposta
O campo elétrico no ponto $ P $ é dado por: