Considere no anel Z12 os ideais I=0, 2, 4, 6, 8, 10 e J=0, 4, 8. Diga, justificando a resposta, se I e J são ideais primos de Z12.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os subconjuntos I= { 0,2,4,6,8,10} e J={ 0,4,8} são ideais primos de Z12. O conteúdo principal envolve anéis quocientes e a caracterização de ideais primos via domínio de integridade.

Passo 2

Em qualquer anel comutativo R, um ideal P é primo se, e somente se, o quociente R/P for um domínio de integridade (i.e., não tiver divisores de zero).

Passo 3

Vamos calcular primeiro Z12/I. Como |Z12|=12 e |I|=6, o índice é 12/6=2. Logo
[\mathbb{Z}_{12}/I \simeq \mathbb{Z}_2,]
e Z2 é um corpo, logo um domínio de integridade. Portanto I é um ideal primo.

Passo 4

Agora calculamos Z12/J. Aqui |J|=3, então o índice é 12/3=4 e
[\mathbb{Z}_{12}/J \simeq \mathbb{Z}_4.],
Porém Z4 não é domínio de integridade, pois há divisores de zero, por exemplo
[\overline{2}\cdot\overline{2}=\overline{0} \quadem\mathbb{Z}_4.].
Logo J não é ideal primo.

Resposta

I é ideal primo de Z12, e J não é ideal primo.

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