Considere no anel os ideais e J=0, 4, 8. Diga, justificando a resposta, se I e J são ideais primos de Z12.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se os subconjuntos I= {0,2,4,6,8,10} e J={0,4,8} são ideais primos de Z12. O conteúdo principal envolve anéis quocientes e a caracterização de ideais primos via domínio de integridade.
Passo 2
Em qualquer anel comutativo R, um ideal P é primo se, e somente se, o quociente R/P for um domínio de integridade (i.e., não tiver divisores de zero).
Passo 3
Vamos calcular primeiro Z12/I. Como |Z12|=12 e |I|=6, o índice é 12/6=2. Logo
[\mathbb{Z}_{12}/I \simeq \mathbb{Z}_2,]
e Z2 é um corpo, logo um domínio de integridade. Portanto I é um ideal primo.
Passo 4
Agora calculamos Z12/J. Aqui |J|=3, então o índice é 12/3=4 e
[\mathbb{Z}_{12}/J \simeq \mathbb{Z}_4.],
Porém Z4 não é domínio de integridade, pois há divisores de zero, por exemplo
[\overline{2}\cdot\overline{2}=\overline{0} \quadem\mathbb{Z}_4.].
Logo J não é ideal primo.