Seja p um número primo e A=m / n ; m, n in Z, n neq 0 e mdc(p, n)=1.
Seja I=m / n in A ; p mid m.
a. Mostre que A é um subanel de Q.
b. Mostre que I é um ideal de A.
Suponha agora que p=7 e seja J=m / n in A ; 49 mid m.
c. Dê exemplo de três elementos inversíveis de A.
d. J é primo?

Passo 1

O enunciado define o conjunto
A= mn:,m,nin Z,;nneq0,;gcd(p,n)=1
e o subconjunto
I= mnin A:;pmid m
Pede-se: a) mostrar que A é subanel de Q; b) provar que I é ideal de A; depois, para p=7, definir
J= mnin A:;49mid m
e dar exemplos de três elementos inversíveis de A e verificar se J é primo.

Passo 2

Para mostrar que A é subanel de Q, precisamos verificar que A contém 0 e 1, é fechado sob soma, inverso aditivo e produto.
– 0 está em A pois 0=0/1 e gcd(p,1)=1.
– 1 está em A pois 1=1/1 e gcd(p,1)=1.
– Se a= m1/n1 e b=m2/n2 estão em A, então a+b=(m1n2+m2n1)/(n1n2). Como gcd(p,ni)=1, temos gcd(p,n1n2)=1, logo a+bin A. O inverso aditivo é -a=-m1/n1, que também satisfaz gcd(p,n1)=1. Para o produto ab=(m1m2)/(n1n2) vale o mesmo argumento de gcd, então abin A.

Passo 3

Para provar que I é ideal de A, mostramos:
  1. Se x,yin I, digamos x=m1/n1 e y=m2/n2 com pmid mi, então em
x+y=m1n2+m2n1n1n2
o numerador é múltiplo de p, logo x+yin I. O inverso aditivo de x também tem numerador -m1, múltiplo de p, então I é subgrupo aditivo de A.
2) Se r=a/nin A e x=m/n'in I (com pmid m), então
rx=a mn n'
o numerador am é múltiplo de p, pois pmid m, e gcd(p,nn')=1. Logo rxin I. Isso mostra que I é ideal.

Passo 4

Para p=7, um elemento u=m/n em A é inversível se existir v=r/sin A com uv=1. Basta que m/n não seja múltiplo de 7 (porque então gcd(m,n)=1 e gcd(7,n)=1), pois sua inversa n/m também satisfaz gcd(7,m)=1. Três exemplos são:
2=2/1, 35, 8=8/1
Em cada caso o inverso 1/2,;5/3,;1/8 pertence a A.

Passo 5

Para ver se J é primo, usamos a definição: J é primo se de xyin J segue-se que xin J ou yin J.
Considere x=y=7/1. Temos
x y=7cdot71cdot1=491in J,
mas 7/1notin J pois 49 não divide 7. Portanto xyin J sem que x ou y esteja em J, então J não é primo.

Resposta

a) A é subanel de Q; b) I é ideal de A; c) Exemplos de inversíveis em A: 2, 3/5 e 8; d) J não é primo.

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