Seja
um número primo e
e
.
Seja
.
a. Mostre que
é um subanel de
.
b. Mostre que
é um ideal de
.
Suponha agora que
e seja
.
c. Dê exemplo de três elementos inversíveis de
.
d.
é primo?
a. Mostre que
b. Mostre que
c. Dê exemplo de três elementos inversíveis de
d.
Passo 1
O enunciado define o conjunto
e o subconjunto
Pede-se: a) mostrar que A é subanel de
; b) provar que I é ideal de A; depois, para
, definir
e dar exemplos de três elementos inversíveis de A e verificar se J é primo.
Passo 2
Para mostrar que A é subanel de
, precisamos verificar que A contém 0 e 1, é fechado sob soma, inverso aditivo e produto.
– 0 está em A pois e
.
– 1 está em A pois e
.
– Se e
estão em A, então
. Como
, temos
, logo
. O inverso aditivo é
, que também satisfaz
. Para o produto
vale o mesmo argumento de gcd, então
.
– 0 está em A pois
– 1 está em A pois
– Se
Passo 3
Para provar que I é ideal de A, mostramos:
- Se
, digamos e com , então em
o numerador é múltiplo de
, logo
. O inverso aditivo de
também tem numerador
, múltiplo de
, então
é subgrupo aditivo de A.
2) Se e
(com
), então
2) Se
o numerador
é múltiplo de
, pois
, e
. Logo
. Isso mostra que I é ideal.
Passo 4
Para
, um elemento
em A é inversível se existir
com
. Basta que
não seja múltiplo de 7 (porque então
e
), pois sua inversa
também satisfaz
. Três exemplos são:
Em cada caso o inverso
pertence a A.
Passo 5
Para ver se J é primo, usamos a definição: J é primo se de
segue-se que
ou
.
Considere . Temos
Considere
mas
pois 49 não divide 7. Portanto
sem que
ou
esteja em J, então J não é primo.
Resposta
a) A é subanel de Q; b) I é ideal de A; c) Exemplos de inversíveis em A: 2, 3/5 e 8; d) J não é primo.