Dê exemplo de um ideal I subset Z tal que Z / I não é um domínio.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de ideal IsubsetZ tal que o quociente Z/I não seja um domínio de integridade. Vamos usar teoria de ideais em Z e critérios para quocientes serem domínios.

Passo 2

Em Z todo ideal é principal, ou seja, I=nZ para algum ninZ. Sabemos que Z/nZ é domínio de integridade se e somente se n for um número primo, pois nesse caso não há divisores de zero não nulos.

Passo 3

Para garantir que Z/nZ não seja domínio, basta escolher n composto. Por exemplo, tome n=6. Então
I=6Z,
e em Z/6Z temos divisores de zero, pois
2cdot3=6equiv0pmod6

Passo 4

mas nem 2 nem 3 são zero em Z/6Z. Portanto há divisores de zero e não é domínio.

Resposta

Um exemplo é I=6ℤ, pois ℤ/6ℤ não é domínio de integridade.

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