Seja
um homomorfismo de anéis e
um ideal de
. Mostre que
é um ideal de
.
Passo 1
Resumo do problema: Temos um homomorfismo de anéis
e um ideal
de
. Precisamos mostrar que
é um ideal de . Lembrando que um ideal de
é um subgrupo aditivo de
fechado sob multiplicação por qualquer elemento de
.
é um ideal de
Passo 2
Primeiro, vamos verificar que
é um subgrupo aditivo de
:
- Elemento zero: como
é homomorfismo, . E como (todo ideal contém o zero), temos . - Fechamento sob soma: se
, então e estão em . Como é ideal, . Mas
,
logo. - Fechamento sob inverso aditivo: se
, então . Como é ideal, . E
,
portanto.
Passo 3
Agora, mostramos a propriedade de absorção (fechamento sob multiplicação por elementos de
):
Seja e
. Então
e como
preserva produto,
.
Como é ideal,
. Logo
.
Analogamente mostra-se para .
Seja
Como
Analogamente mostra-se para
Passo 4
Concluindo, mostramos que
é subgrupo aditivo de
e que é fechado sob multiplicação por qualquer elemento de
. Portanto,
é um ideal de
.