Seja f: A A^prime um homomorfismo de anéis e J^prime um ideal de A^prime. Mostre que A é um ideal de .

Passo 1

Resumo do problema: Temos um homomorfismo de anéis f: A to A' e um ideal J' de A'. Precisamos mostrar que
f^-1(J')=ain A;,f(a)in J'
é um ideal de A. Lembrando que um ideal de A é um subgrupo aditivo de A fechado sob multiplicação por qualquer elemento de A.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar que f^-1(J') é um subgrupo aditivo de A:
  • Elemento zero: como f é homomorfismo, f(0A)=0A'. E como 0A'in J' (todo ideal contém o zero), temos 0Ain f^-1(J').
  • Fechamento sob soma: se a,bin f^-1(J'), então f(a) e f(b) estão em J'. Como J' é ideal, f(a)+f(b)in J'. Mas
    f(a+b)=f(a)+f(b)in J',
    logo a+bin f^-1(J').
  • Fechamento sob inverso aditivo: se ain f^-1(J'), então f(a)in J'. Como J' é ideal, -f(a)in J'. E
    f(-a)= -f(a)in J',
    portanto -ain f^-1(J').

Passo 3

Agora, mostramos a propriedade de absorção (fechamento sob multiplicação por elementos de A):
Seja rin A e ain f^-1(J'). Então f(a)in J' e como f preserva produto,
f(r a)=f(r)f(a).
Como J' é ideal, f(r)f(a)in J'. Logo
r ain f^-1(J').
Analogamente mostra-se para a r.

Passo 4

Concluindo, mostramos que f^-1(J') é subgrupo aditivo de A e que é fechado sob multiplicação por qualquer elemento de A. Portanto, f^-1(J') é um ideal de A.

Resposta

f^-1(J') é um ideal de A.

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