Um plano alpha passa pela hipotenusa A B de um triangulo retângulo A B C e alpha forma um diedro de 60^circ com o plano do triângulo A B C. Encontre a distância do vértice C do triângulo ao plano alpha, sabendo que A C=6 cm e B C=8 cm.

Passo 1

O enunciado diz que temos o triângulo retângulo ABC (ângulo reto em C) com AC = 6 cm, BC = 8 cm e hipotenusa AB, e que o plano α passa por AB formando um diedro de 60° com o plano do triângulo. Queremos a distância de C ao plano α, usando conceitos de distância de ponto a plano e de diedro de planos.

Passo 2

Primeiro calculamos AB e a altura do triângulo em relação a essa hipotenusa. Como é retângulo em C,
AB=raizAC^2+BC^2=raiz6^2+8^2=10,(cm),
a área vale
área=tfrac12cdot ACcdot BC=tfrac12cdot6cdot8=24,á
e a altura h de C até AB é
h=2timesáreaAB=4810=4.8,(cm)á

Passo 3

Como o plano α gira em torno de AB formando diedro de 60°, a distância de C ao plano α é o cateto oposto ao ângulo de 60° no triângulo formado pela altura h, ou seja,
d=h,sin60^circ=4.8cdotraiz32=2.4,raiz3,(cm)

Resposta

tfrac12raiz35,cm

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