Um plano passa pela hipotenusa de um triangulo retângulo e forma um diedro de com o plano do triângulo . Encontre a distância do vértice do triângulo ao plano , sabendo que e B C=8 cm.
Passo 1
O enunciado diz que temos o triângulo retângulo ABC (ângulo reto em C) com AC = 6 cm, BC = 8 cm e hipotenusa AB, e que o plano α passa por AB formando um diedro de 60° com o plano do triângulo. Queremos a distância de C ao plano α, usando conceitos de distância de ponto a plano e de diedro de planos.
Passo 2
Primeiro calculamos AB e a altura do triângulo em relação a essa hipotenusa. Como é retângulo em C,
AB=raizAC^2+BC^2=raiz6^2+8^2=10,(cm),
a área vale área=tfrac12cdot ACcdot BC=tfrac12cdot6cdot8=24,á
e a altura h de C até AB é
h=2timesáreaAB=4810=4.8,(cm)á
Passo 3
Como o plano α gira em torno de AB formando diedro de 60°, a distância de C ao plano α é o cateto oposto ao ângulo de 60° no triângulo formado pela altura h, ou seja,