Considere um ângulo A O B onde A O=B O. Trace dois círculos do mesmo raio centrados em A e em B. Suponha que seus raios sejam grandes o suficientes para que eles se interceptem em dois pontos. Mostre que, a reta, ligando estes dois pontos, passa pelo vértice do angulo e é sua bissetriz.

Passo 1

O enunciado descreve um ângulo widehatAOB com OA=OB. Traçamos dois círculos de mesmo raio r, um centrado em A e outro em B, de modo que eles se encontrem nos pontos P e Q. Queremos mostrar que a reta PQ passa por O e que, além disso, ela divide o ângulo widehatAOB em duas partes iguais (é a bissetriz).

Passo 2

Como P e Q estão nas duas circunferências, temos
PA = r = PB e QA = r = QB
Logo, P e Q são pontos equidistantes de A e de B. Mas o lugar geométrico dos pontos equidistantes de A e de B é a mediatriz do segmento AB.

Passo 3

Por hipótese OA=OB, ou seja, O também é equidistante de A e de B. Assim O pertence à mesma mediatriz de AB em que estão P e Q. Consequentemente, O,P,Q são colineares e a reta PQ passa por O.

Passo 4

Para ver que essa reta realmente bisseta o ângulo, escolha um ponto genérico X na reta PQ. Nos triângulos triang<= XOA e triang<= XOB temos:
  1. OA = OB (dados do ângulo isósceles),
  2. XA = XB (pois X está na mediatriz de AB),
  3. OX = OX (lado comum).
    Por isso triang<= XOAcong triang<= XOB e, em particular,
ang<= AOX ;=;ang<= XOB
Isso significa que a reta OX (e portanto PQ) divide widehatAOB em dois ângulos congruentes.

Resposta

A reta que liga os pontos de interseção P e Q dos dois círculos passa por O e é a bissetriz do ângulo widehatAOB.

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