Considere um ângulo
onde
. Trace dois círculos do mesmo raio centrados em
e em
. Suponha que seus raios sejam grandes o suficientes para que eles se interceptem em dois pontos. Mostre que, a reta, ligando estes dois pontos, passa pelo vértice do angulo e é sua bissetriz.
Passo 1
O enunciado descreve um ângulo
com
. Traçamos dois círculos de mesmo raio
, um centrado em
e outro em
, de modo que eles se encontrem nos pontos
e
. Queremos mostrar que a reta
passa por
e que, além disso, ela divide o ângulo
em duas partes iguais (é a bissetriz).
Passo 2
Como
e
estão nas duas circunferências, temos
Logo,
e
são pontos equidistantes de
e de
. Mas o lugar geométrico dos pontos equidistantes de
e de
é a mediatriz do segmento
.
Passo 3
Por hipótese
, ou seja,
também é equidistante de
e de
. Assim
pertence à mesma mediatriz de
em que estão
e
. Consequentemente,
são colineares e a reta
passa por
.
Passo 4
Para ver que essa reta realmente bisseta o ângulo, escolha um ponto genérico
na reta
. Nos triângulos
e
temos:
-
(dados do ângulo isósceles), -
(pois está na mediatriz de ), -
(lado comum).
Por issoe, em particular,
Isso significa que a reta
(e portanto
) divide
em dois ângulos congruentes.
Resposta
A reta que liga os pontos de interseção
e
dos dois círculos passa por
e é a bissetriz do ângulo
.